Для составления уравнения нормали к поверхности в точке M(3,1,-1) сначала необходимо найти градиент функции, задающей поверхность. Градиент функции F(x, y, z) = x^2 – 2y^2 – 3z^2 – 4 можно найти, нахожа частные производные по каждой переменной.
∂F/∂x = 2x
∂F/∂y = -4y
∂F/∂z = -6z
Теперь найдем значения градиента в точке M(3,1,-1):
∂F/∂x = 2*3 = 6
∂F/∂y = -4*1 = -4
∂F/∂z = -6*(-1) = 6
Теперь имея значения градиента в точке M(3,1,-1), можем составить уравнение нормали к поверхности. Уравнение нормали имеет вид:
(x – x₀)/∂F/∂x = (y – y₀)/∂F/∂y = (z – z₀)/∂F/∂z,
где (x₀, y₀, z₀) – координаты точки M(3,1,-1).
(x – 3)/6 = (y – 1)/(-4) = (z + 1)/6.
Это и есть уравнение нормали к поверхности x^2 – 2y^2 – 3z^2 – 4 = 0 в точке M(3,1,-1).
Я описал шаги решения на русском языке в предоставленном объеме символов.