Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку M(2, 4) и перпендикулярной данной прямой −4x − 5y − 30 = 0, нам необходимо учесть два факта: перпендикулярные прямые имеют противоположные угловые коэффициенты и проходят через одну и ту же точку.
Идея состоит в том, чтобы найти уравнение исходной прямой и затем использовать ее угловой коэффициент для построения перпендикулярной прямой.
Уравнение прямой −4x − 5y − 30 = 0 можно привести к стандартному виду уравнения прямой y = mx + c, где m – угловой коэффициент, а c – свободный член:
−4x − 5y − 30 = 0
−5y = 4x + 30
y = (-4/5)x – 6
Теперь мы знаем, что угловой коэффициент исходной прямой равен -4/5, а также у нас есть точка M(2, 4), через которую проходит перпендикулярная прямая.
Чтобы найти уравнение перпендикулярной прямой, мы можем использовать следующий факт: произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1.
Таким образом, чтобы найти угловой коэффициент перпендикулярной прямой, мы можем взять обратное число к угловому коэффициенту исходной прямой и затем сменить знак:
m_perpendicular = -1/m = -1/(-4/5) = 5/4
Теперь у нас есть угловой коэффициент перпендикулярной прямой, и мы можем записать уравнение прямой, проходящей через точку M(2, 4) и перпендикулярной исходной прямой:
y – y1 = m_perpendicular(x – x1)
где x1 и y1 – координаты точки M(2, 4). Подставляя значения, получаем:
y – 4 = (5/4)(x – 2)
Приводим это уравнение к стандартному виду:
y – 4 = 5/4x – 5/2
y = 5/4x + 3/2
Ответ: уравнение прямой, проходящей через точку M(2, 4) и перпендикулярной прямой −4x − 5y − 30 = 0, – y = 5/4x + 3/2