Дано:
– Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна 27 см^2
– Периметр основания равен 18 см
Требуется найти:
– Апофему (расстояние от вершины пирамиды до центра основания)
– Плоский угол при вершине пирамиды
Решение:
1. Формула для полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды:
Полная поверхность = площадь основания + площадь боковых граней
Обозначим площадь основания за S, а площадь боковых граней за Sб.
По условию задачи, полная поверхность равна 27 см^2, поэтому имеем:
27 = S + Sб (уравнение 1)
2. Апофема — это высота боковой грани пирамиды, что в данном случае является также радиусом вписанной окружности основания. Обозначим апофему за r.
3. Площадь основания можно выразить через апофему и периметр основания:
S = (периметр основания * апофема) / 2
По условию задачи, периметр основания равен 18 см, поэтому имеем:
S = (18 * r) / 2 = 9r (уравнение 2)
4. Площадь боковых граней пирамиды можно выразить через апофему и периметр основания:
Sб = (периметр основания * апофема) / 2
По условию задачи, периметр основания равен 18 см, поэтому имеем:
Sб = (18 * r) / 2 = 9r (уравнение 3)
5. Подставим значения S и Sб из уравнений 2 и 3 в уравнение 1:
27 = 9r + 9r
27 = 18r
6. Решим уравнение для нахождения значения апофемы:
18r = 27
r = 27 / 18 = 1.5 см
7. Получили, что апофема равна 1.5 см.
8. Плоский угол при вершине пирамиды равен 360 градусов или 2π радиан.