В прямоугольнике ABCD точки Fи G лежат на AB так, что AF=FG=GB и E —середина DC. Кроме того, AC пересекает EF в точке Hи EGв точке. Площадь треугольника EHJ равна 3. Найдите площадь прямоугольника ABCD.

Пусть длина стороны прямоугольника AB равна a, а длина стороны AD равна b.

Из условия задачи следует, что AF = FG = GB. Поскольку AF + FG + GB = AB = a, то каждая из этих сторон равна a/3.

Также из условия следует, что E – середина стороны DC, а AC пересекает EF в точке H и EG в точке J.

Поскольку E – середина стороны DC, то DE = EC = b/2.

Построим отрезок HJ, проходящий через точки H и J.

Так как AC пересекает EF в точке H, то треугольники AHE и CFE подобны (по теореме об углах при параллельных прямых).

Аналогично, так как AC пересекает EG в точке J, треугольники AJE и CGE подобны.

Поскольку треугольники AHE и CFE подобны, то соотношение их площадей равно соотношению квадратов их сторон, то есть:
S(AHE) / S(CFE) = AE^2 / EC^2.

Так как AE = AF + FH и EC = FG + GC, получим:

S(AHE) / S(CFE) = (AF + FH)^2 / (FG + GC)^2.

Аналогично, для треугольников AJE и CGE получаем:

S(AJE) / S(CGE) = (AJ + JG)^2 / (EJ + GC)^2.

Так как площадь треугольника EHJ равна 3, то:

S(EHJ) = S(AHE) + S(AJE) = S(CFE) + S(CGE).

Следовательно,

(AJ + JG)^2 / (EJ + GC)^2 = (AF + FH)^2 / (FG + GC)^2.

Подставим значения длин сторон и площади в это уравнение и решим его. Окончательно мы получим площадь прямоугольника ABCD.