Пусть в треугольнике ABC прямой угол находится в вершине C, а биссектриса угла CAC’ делит противолежащий катет AB на отрезки AC’ и C’B. По условию задачи, AC’ = 5 и C’B = 13.
Докажем, что угол ACB является прямым углом. Пусть M — середина стороны AB, точки D и E — основания перпендикуляров, опущенных из точек A и C на биссектрису. Тогда треугольники ADM и CBM подобными тригонометрическим соотношением «синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе». Из этого следует, что AD / AC’ = DM / C’B, то есть AD / 5 = DM / 13. Отсюда DM = 13 AD / 5.
Также треугольники AED и CEB подобны с соотношением AE / AC’ = DE / C’B, то есть AE / 5 = DE / 13. Отсюда DE = 13 AE / 5.
Так как DMEA — прямоугольник, то AE = DM и DE = AD. Подставим найденные значения в равенства и получим систему уравнений:
AE / 5 = DE / 13
AE / 5 = 13 AE / 5
AE = 13 AE
AE = 0
DE / 13 = AE / 5
DE / 13 = 0 / 5
DE = 0
Таким образом, получаем AE = DE = 0. Из этого следует, что точки A, E и D совпадают, а значит, угол ACB является прямым углом.
Теперь применим теорему Пифагора для нахождения длины меньшего катета AC. Обозначим это расстояние как x. Тогда AC = √(x² + 5²) и BC = √(x² + 13²).
Используя теорему Пифагора для треугольника ABC, получим уравнение:
(√(x² + 5²))² + (√(x² + 13²))² = (13 + 5)²
x² + 25 + x² + 169 = 18²
2x² + 194 = 324
2x² = 324 – 194
2x² = 130
x² = 130 / 2
x² = 65
x = √65
Таким образом, длина меньшего катета этого прямоугольного треугольника равна √65.