y = 60+45*x-3*x^2-x^3

$$f{left (x right )} = – x^{3} + – 3 x^{2} + 45 x + 60$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{3} + – 3 x^{2} + 45 x + 60 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1 + frac{16}{sqrt[3]{frac{13}{2} + frac{sqrt{16215} i}{2}}} + sqrt[3]{frac{13}{2} + frac{sqrt{16215} i}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 6.05984421955$$
$$x_{2} = -1.27124911348$$
$$x_{3} = -7.78859510607$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 60 + 45*x – 3*x^2 – x^3.
$$- 0 + – 0 + 0 cdot 45 + 60$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 60$$
Точка:

(0, 60)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(-5, -115)

(3, 141)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3$$
Убывает на промежутках

[-5, 3]

Возрастает на промежутках

(-oo, -5] U [3, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -1]

Выпуклая на промежутках

[-1, oo)

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(- x^{3} + – 3 x^{2} + 45 x + 60right) = infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 60 + 45*x – 3*x^2 – x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(- x^{3} + – 3 x^{2} + 45 x + 60right)right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{3} + – 3 x^{2} + 45 x + 60 = x^{3} – 3 x^{2} – 45 x + 60$$
– Нет
$$- x^{3} + – 3 x^{2} + 45 x + 60 = – x^{3} – – 3 x^{2} – – 45 x – 60$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной