y = x^2-28*x+96*log(x)+31

$$f{left (x right )} = x^{2} – 28 x + 96 log{left (x right )} + 31$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} – 28 x + 96 log{left (x right )} + 31 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0.94496990871$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 – 28*x + 96*log(x) + 31.
$$96 log{left (0 right )} + 0^{2} – 0 + 31$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = tilde{infty}$$
зн.f не пересекает Y

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 8$$
Зн. экстремумы в точках:

(6, -101 + 96*log(6))

(8, -129 + 96*log(8))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 8$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 6$$
Убывает на промежутках

(-oo, 6] U [8, oo)

Возрастает на промежутках

[6, 8]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – 4 sqrt{3}$$
$$x_{2} = 4 sqrt{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -4*sqrt(3)] U [4*sqrt(3), oo)

Выпуклая на промежутках

[-4*sqrt(3), 4*sqrt(3)]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(x^{2} – 28 x + 96 log{left (x right )} + 31right) = infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 – 28*x + 96*log(x) + 31, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(x^{2} – 28 x + 96 log{left (x right )} + 31right)right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} – 28 x + 96 log{left (x right )} + 31 = x^{2} + 28 x + 96 log{left (- x right )} + 31$$
– Нет
$$x^{2} – 28 x + 96 log{left (x right )} + 31 = – x^{2} – 28 x – 96 log{left (- x right )} – 31$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной