Производная (20-x)*sqrt(20*(2*x-20))

1. Применяем правило производной умножения:

   frac{d}{d x}left(f{left (x right )} g{left (x right )}right) = f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}

   f{left (x right )} = – x + 20
   ; найдём
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. дифференцируем
      – x + 20
      почленно:

      1. Производная постоянной
         20
         равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

         Таким образом, в результате:
         -1

      В результате:
      -1

   g{left (x right )} = sqrt{20 left(2 x – 20right)}
   ; найдём
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = 20 left(2 x – 20right)
      .

   2. В силу правила, применим:
      sqrt{u}
      получим
      frac{1}{2 sqrt{u}}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x}left(20 left(2 x – 20right)right)
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. дифференцируем
            2 x – 20
            почленно:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим:
                  x
                  получим
                  1

               Таким образом, в результате:
               2

            2. Производная постоянной
               -20
               равна нулю.

            В результате:
            2

         Таким образом, в результате:
         40

      В результате последовательности правил:

      frac{2 sqrt{5}}{sqrt{2 x – 20}}

   В результате:
   frac{2 sqrt{5} left(- x + 20right)}{sqrt{2 x – 20}} – 2 sqrt{5} sqrt{2 x – 20}

2. Теперь упростим:

   frac{sqrt{10} left(- 3 x + 40right)}{sqrt{x – 10}}

Ответ:

frac{sqrt{10} left(- 3 x + 40right)}{sqrt{x – 10}}

___
___ __________ 2*/ 5 *(20 – x)
– 2*/ 5 */ 2*x – 20 + —————-
__________
/ 2*x – 20

____ / -20 + x
/ 10 *|-2 + ———–|
2*(-10 + x)/
————————-
_________
/ -10 + x

____ / -20 + x
3*/ 10 *|2 – ——-|
-10 + x/
———————-
3/2
4*(-10 + x)