Производная 3*cos(2*x)^2-sin(x)*sqrt(1-sin(2*x))

$$- sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1} sin{left (x right )} + 3 cos^{2}{left (2 x right )}$$

1. дифференцируем
   – sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1} sin{left (x right )} + 3 cos^{2}{left (2 x right )}
   почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим
         u = cos{left (2 x right )}
         .

      2. В силу правила, применим:
         u^{2}
         получим
         2 u

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x} cos{left (2 x right )}
         :

         1. Заменим
            u = 2 x
            .

         2. Производная косинус есть минус синус:

            frac{d}{d u} cos{left (u right )} = – sin{left (u right )}

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            frac{d}{d x}left(2 xright)
            :

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим:
                  x
                  получим
                  1

               Таким образом, в результате:
               2

            В результате последовательности правил:

            – 2 sin{left (2 x right )}

         В результате последовательности правил:

         – 4 sin{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}

      Таким образом, в результате:
      – 12 sin{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         frac{d}{d x}left(f{left (x right )} g{left (x right )}right) = f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}

         f{left (x right )} = sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1}
         ; найдём
         frac{d}{d x} f{left (x right )}
         :

         1. Заменим
            u = – sin{left (2 x right )} + 1
            .

         2. В силу правила, применим:
            sqrt{u}
            получим
            frac{1}{2 sqrt{u}}

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            frac{d}{d x}left(- sin{left (2 x right )} + 1right)
            :

            1. дифференцируем
               – sin{left (2 x right )} + 1
               почленно:

               1. Производная постоянной
                  1
                  равна нулю.

               2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. Заменим
                     u = 2 x
                     .

                  2. Производная синуса есть косинус:

                     frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

                  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
                     frac{d}{d x}left(2 xright)
                     :

                     1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                        1. В силу правила, применим:
                           x
                           получим
                           1

                        Таким образом, в результате:
                        2

                     В результате последовательности правил:

                     2 cos{left (2 x right )}

                  Таким образом, в результате:
                  – 2 cos{left (2 x right )}

               В результате:
               – 2 cos{left (2 x right )}

            В результате последовательности правил:

            – frac{cos{left (2 x right )}}{sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1}}

         g{left (x right )} = sin{left (x right )}
         ; найдём
         frac{d}{d x} g{left (x right )}
         :

         1. Производная синуса есть косинус:

            frac{d}{d x} sin{left (x right )} = cos{left (x right )}

         В результате:
         sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1} cos{left (x right )} – frac{sin{left (x right )} cos{left (2 x right )}}{sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1}}

      Таким образом, в результате:
      – sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1} cos{left (x right )} + frac{sin{left (x right )} cos{left (2 x right )}}{sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1}}

   В результате:
   – sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1} cos{left (x right )} – 12 sin{left (2 x right )} cos{left (2 x right )} + frac{sin{left (x right )} cos{left (2 x right )}}{sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1}}

2. Теперь упростим:

   frac{1}{sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1}} left(- 6 sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1} sin{left (4 x right )} + sin{left (3 x right )} – cos{left (x right )}right)

---

Ответ:

frac{1}{sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1}} left(- 6 sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1} sin{left (4 x right )} + sin{left (3 x right )} – cos{left (x right )}right)

______________ cos(2*x)*sin(x)
– / 1 – sin(2*x) *cos(x) – 12*cos(2*x)*sin(2*x) + —————-
______________
/ 1 – sin(2*x)

$$- sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1} cos{left (x right )} – 12 sin{left (2 x right )} cos{left (2 x right )} + frac{sin{left (x right )} cos{left (2 x right )}}{sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1}}$$

Вторая производная

2
2 2 ______________ cos (2*x)*sin(x) 2*sin(x)*sin(2*x) 2*cos(x)*cos(2*x)
– 24*cos (2*x) + 24*sin (2*x) + / 1 – sin(2*x) *sin(x) + —————– – —————– + —————–
3/2 ______________ ______________
(1 – sin(2*x)) / 1 – sin(2*x) / 1 – sin(2*x)

$$sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1} sin{left (x right )} + 24 sin^{2}{left (2 x right )} – 24 cos^{2}{left (2 x right )} – frac{2 sin{left (x right )} sin{left (2 x right )}}{sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1}} + frac{2 cos{left (x right )} cos{left (2 x right )}}{sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1}} + frac{sin{left (x right )} cos^{2}{left (2 x right )}}{left(- sin{left (2 x right )} + 1right)^{frac{3}{2}}}$$

Третья производная

3 2
______________ 7*cos(2*x)*sin(x) 6*cos(x)*sin(2*x) 3*cos (2*x)*sin(x) 3*cos (2*x)*cos(x) 6*cos(2*x)*sin(x)*sin(2*x)
/ 1 – sin(2*x) *cos(x) + 192*cos(2*x)*sin(2*x) – —————– – —————– + —————— + —————— – ————————–
______________ ______________ 5/2 3/2 3/2
/ 1 – sin(2*x) / 1 – sin(2*x) (1 – sin(2*x)) (1 – sin(2*x)) (1 – sin(2*x))

$$sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1} cos{left (x right )} + 192 sin{left (2 x right )} cos{left (2 x right )} – frac{7 sin{left (x right )} cos{left (2 x right )}}{sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1}} – frac{6 sin{left (2 x right )} cos{left (x right )}}{sqrt{- sin{left (2 x right )} + 1}} – frac{6 sin{left (x right )} sin{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}}{left(- sin{left (2 x right )} + 1right)^{frac{3}{2}}} + frac{3 cos{left (x right )} cos^{2}{left (2 x right )}}{left(- sin{left (2 x right )} + 1right)^{frac{3}{2}}} + frac{3 sin{left (x right )} cos^{3}{left (2 x right )}}{left(- sin{left (2 x right )} + 1right)^{frac{5}{2}}}$$