Производная ((((sin(cos(2))))^3)-(((cos(30*x))^2)))/(60*sin(60*x))

$$frac{1}{60 sin{left (60 x right )}} left(- cos^{2}{left (30 x right )} + sin^{3}{left (cos{left (2 right )} right )}right)$$

1. Применим правило производной частного:

   frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

   f{left (x right )} = – cos^{2}{left (30 x right )} + sin^{3}{left (cos{left (2 right )} right )}
   и
   g{left (x right )} = 60 sin{left (60 x right )}
   $$ .

   Чтобы найти $$
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. дифференцируем
      – cos^{2}{left (30 x right )} + sin^{3}{left (cos{left (2 right )} right )}
      почленно:

      1. Производная постоянной
         sin^{3}{left (cos{left (2 right )} right )}
         равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим
            u = cos{left (30 x right )}
            .

         2. В силу правила, применим:
            u^{2}
            получим
            2 u

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            frac{d}{d x} cos{left (30 x right )}
            :

            1. Заменим
               u = 30 x
               .

            2. Производная косинус есть минус синус:

               frac{d}{d u} cos{left (u right )} = – sin{left (u right )}

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
               frac{d}{d x}left(30 xright)
               :

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим:
                     x
                     получим
                     1

                  Таким образом, в результате:
                  30

               В результате последовательности правил:

               – 30 sin{left (30 x right )}

            В результате последовательности правил:

            – 60 sin{left (30 x right )} cos{left (30 x right )}

         Таким образом, в результате:
         60 sin{left (30 x right )} cos{left (30 x right )}

      В результате:
      60 sin{left (30 x right )} cos{left (30 x right )}

   Чтобы найти
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим
         u = 60 x
         .

      2. Производная синуса есть косинус:

         frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x}left(60 xright)
         :

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            Таким образом, в результате:
            60

         В результате последовательности правил:

         60 cos{left (60 x right )}

      Таким образом, в результате:
      3600 cos{left (60 x right )}

   Теперь применим правило производной деления:

   frac{1}{3600 sin^{2}{left (60 x right )}} left(- 3600 left(- cos^{2}{left (30 x right )} + sin^{3}{left (cos{left (2 right )} right )}right) cos{left (60 x right )} + 3600 sin{left (30 x right )} sin{left (60 x right )} cos{left (30 x right )}right)

2. Теперь упростим:

   frac{1}{sin^{2}{left (60 x right )}} left(left(cos^{2}{left (30 x right )} – sin^{3}{left (cos{left (2 right )} right )}right) cos{left (60 x right )} + frac{1}{2} sin^{2}{left (60 x right )}right)

---

Ответ:

frac{1}{sin^{2}{left (60 x right )}} left(left(cos^{2}{left (30 x right )} – sin^{3}{left (cos{left (2 right )} right )}right) cos{left (60 x right )} + frac{1}{2} sin^{2}{left (60 x right )}right)

/ 3 2
sin (cos(2)) – cos (30*x)/*cos(60*x) 1
– ————————————- + 60*————*cos(30*x)*sin(30*x)
2 60*sin(60*x)
sin (60*x)

$$- frac{cos{left (60 x right )}}{sin^{2}{left (60 x right )}} left(- cos^{2}{left (30 x right )} + sin^{3}{left (cos{left (2 right )} right )}right) + 60 sin{left (30 x right )} frac{1}{60 sin{left (60 x right )}} cos{left (30 x right )}$$

Вторая производная

/ 2 / 2 3
| 2 2 3 4*cos (60*x)*cos (30*x) – sin (cos(2))/ 4*cos(30*x)*cos(60*x)*sin(30*x)|
30*|- cos (30*x) – sin (30*x) + 2*sin (cos(2)) – —————————————- – ——————————-|
| 2 sin(60*x) |
sin (60*x) /
—————————————————————————————————————————-
sin(60*x)

$$frac{1}{sin{left (60 x right )}} left(- frac{120 cos^{2}{left (60 x right )}}{sin^{2}{left (60 x right )}} left(cos^{2}{left (30 x right )} – sin^{3}{left (cos{left (2 right )} right )}right) – 30 sin^{2}{left (30 x right )} – frac{120 cos{left (30 x right )}}{sin{left (60 x right )}} sin{left (30 x right )} cos{left (60 x right )} – 30 cos^{2}{left (30 x right )} + 60 sin^{3}{left (cos{left (2 right )} right )}right)$$

Третья производная

/ 2 2 / 2 3 3 / 2 3 2
| 3*cos (30*x)*cos(60*x) 3*sin (30*x)*cos(60*x) 10*cos (30*x) – sin (cos(2))/*cos(60*x) 12*cos (60*x)*cos (30*x) – sin (cos(2))/ 12*cos (60*x)*cos(30*x)*sin(30*x)|
1800*|4*cos(30*x)*sin(30*x) – ———————- + ———————- + —————————————- + —————————————– + ———————————|
| sin(60*x) sin(60*x) sin(60*x) 3 2 |
sin (60*x) sin (60*x) /
———————————————————————————————————————————————————————————————————
sin(60*x)

$$frac{1}{sin{left (60 x right )}} left(frac{18000 cos{left (60 x right )}}{sin{left (60 x right )}} left(cos^{2}{left (30 x right )} – sin^{3}{left (cos{left (2 right )} right )}right) + frac{21600 cos^{3}{left (60 x right )}}{sin^{3}{left (60 x right )}} left(cos^{2}{left (30 x right )} – sin^{3}{left (cos{left (2 right )} right )}right) + frac{5400 sin^{2}{left (30 x right )}}{sin{left (60 x right )}} cos{left (60 x right )} + 7200 sin{left (30 x right )} cos{left (30 x right )} + frac{21600 cos^{2}{left (60 x right )}}{sin^{2}{left (60 x right )}} sin{left (30 x right )} cos{left (30 x right )} – frac{5400 cos^{2}{left (30 x right )}}{sin{left (60 x right )}} cos{left (60 x right )}right)$$