Производная sin(log(1))/2+sin(x)^(225)/25*cos(50*x)

$$frac{1}{25} sin^{225}{left (x right )} cos{left (50 x right )} + frac{1}{2} sin{left (log{left (1 right )} right )}$$

1. дифференцируем
   frac{1}{25} sin^{225}{left (x right )} cos{left (50 x right )} + frac{1}{2} sin{left (log{left (1 right )} right )}
   почленно:

   1. Производная постоянной
      frac{1}{2} sin{left (log{left (1 right )} right )}
      равна нулю.

   2. Применим правило производной частного:

      frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

      f{left (x right )} = sin^{225}{left (x right )} cos{left (50 x right )}
      и
      g{left (x right )} = 25
      $$ .

      Чтобы найти $$
      frac{d}{d x} f{left (x right )}
      :

      1. Применяем правило производной умножения:

         frac{d}{d x}left(f{left (x right )} g{left (x right )}right) = f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}

         f{left (x right )} = sin^{225}{left (x right )}
         ; найдём
         frac{d}{d x} f{left (x right )}
         :

         1. Заменим
            u = sin{left (x right )}
            .

         2. В силу правила, применим:
            u^{225}
            получим
            225 u^{224}

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            frac{d}{d x} sin{left (x right )}
            :

            1. Производная синуса есть косинус:

               frac{d}{d x} sin{left (x right )} = cos{left (x right )}

            В результате последовательности правил:

            225 sin^{224}{left (x right )} cos{left (x right )}

         g{left (x right )} = cos{left (50 x right )}
         ; найдём
         frac{d}{d x} g{left (x right )}
         :

         1. Заменим
            u = 50 x
            .

         2. Производная косинус есть минус синус:

            frac{d}{d u} cos{left (u right )} = – sin{left (u right )}

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            frac{d}{d x}left(50 xright)
            :

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим:
                  x
                  получим
                  1

               Таким образом, в результате:
               50

            В результате последовательности правил:

            – 50 sin{left (50 x right )}

         В результате:
         – 50 sin^{225}{left (x right )} sin{left (50 x right )} + 225 sin^{224}{left (x right )} cos{left (x right )} cos{left (50 x right )}

      Чтобы найти
      frac{d}{d x} g{left (x right )}
      :

      1. Производная постоянной
         25
         равна нулю.

      Теперь применим правило производной деления:

      – 2 sin^{225}{left (x right )} sin{left (50 x right )} + 9 sin^{224}{left (x right )} cos{left (x right )} cos{left (50 x right )}

   В результате:
   – 2 sin^{225}{left (x right )} sin{left (50 x right )} + 9 sin^{224}{left (x right )} cos{left (x right )} cos{left (50 x right )}

2. Теперь упростим:

   frac{1}{2} left(7 cos{left (49 x right )} + 11 cos{left (51 x right )}right) sin^{224}{left (x right )}

---

Ответ:

frac{1}{2} left(7 cos{left (49 x right )} + 11 cos{left (51 x right )}right) sin^{224}{left (x right )}

225 224
– 2*sin (x)*sin(50*x) + 9*sin (x)*cos(x)*cos(50*x)

$$- 2 sin^{225}{left (x right )} sin{left (50 x right )} + 9 sin^{224}{left (x right )} cos{left (x right )} cos{left (50 x right )}$$

Вторая производная

223 / 2 2
sin (x)* – 109*sin (x)*cos(50*x) + 2016*cos (x)*cos(50*x) – 900*cos(x)*sin(x)*sin(50*x)/

$$left(- 109 sin^{2}{left (x right )} cos{left (50 x right )} – 900 sin{left (x right )} sin{left (50 x right )} cos{left (x right )} + 2016 cos^{2}{left (x right )} cos{left (50 x right )}right) sin^{223}{left (x right )}$$

Третья производная

222 / 3 3 2 2
sin (x)*6350*sin (x)*sin(50*x) + 449568*cos (x)*cos(50*x) – 302400*cos (x)*sin(x)*sin(50*x) – 73557*sin (x)*cos(x)*cos(50*x)/

$$left(6350 sin^{3}{left (x right )} sin{left (50 x right )} – 73557 sin^{2}{left (x right )} cos{left (x right )} cos{left (50 x right )} – 302400 sin{left (x right )} sin{left (50 x right )} cos^{2}{left (x right )} + 449568 cos^{3}{left (x right )} cos{left (50 x right )}right) sin^{222}{left (x right )}$$