Производная sqrt(sin(x)^2-2*sin(x)+1)

$$sqrt{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1}$$

1. Заменим
   u = sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1
   .

2. В силу правила, применим:
   sqrt{u}
   получим
   frac{1}{2 sqrt{u}}

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
   frac{d}{d x}left(sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1right)
   :

   1. дифференцируем
      sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1
      почленно:

      1. дифференцируем
         sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )}
         почленно:

         1. Заменим
            u = sin{left (x right )}
            .

         2. В силу правила, применим:
            u^{2}
            получим
            2 u

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            frac{d}{d x} sin{left (x right )}
            :

            1. Производная синуса есть косинус:

               frac{d}{d x} sin{left (x right )} = cos{left (x right )}

            В результате последовательности правил:

            2 sin{left (x right )} cos{left (x right )}

         4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. Производная синуса есть косинус:

                  frac{d}{d x} sin{left (x right )} = cos{left (x right )}

               Таким образом, в результате:
               2 cos{left (x right )}

            Таким образом, в результате:
            – 2 cos{left (x right )}

         В результате:
         2 sin{left (x right )} cos{left (x right )} – 2 cos{left (x right )}

      2. Производная постоянной
         1
         равна нулю.

      В результате:
      2 sin{left (x right )} cos{left (x right )} – 2 cos{left (x right )}

   В результате последовательности правил:

   frac{2 sin{left (x right )} cos{left (x right )} – 2 cos{left (x right )}}{2 sqrt{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1}}

4. Теперь упростим:

   frac{left(sin{left (x right )} – 1right) cos{left (x right )}}{sqrt{left(sin{left (x right )} – 1right)^{2}}}

---

Ответ:

frac{left(sin{left (x right )} – 1right) cos{left (x right )}}{sqrt{left(sin{left (x right )} – 1right)^{2}}}

-cos(x) + cos(x)*sin(x)
—————————
________________________
/ 2
/ sin (x) – 2*sin(x) + 1

$$frac{sin{left (x right )} cos{left (x right )} – cos{left (x right )}}{sqrt{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1}}$$

Вторая производная

2 2
2 2 (-1 + sin(x)) *cos (x)
cos (x) – sin (x) – ———————- + sin(x)
2
1 + sin (x) – 2*sin(x)
—————————————————
________________________
/ 2
/ 1 + sin (x) – 2*sin(x)

$$frac{1}{sqrt{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1}} left(- frac{left(sin{left (x right )} – 1right)^{2} cos^{2}{left (x right )}}{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1} – sin^{2}{left (x right )} + sin{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )}right)$$

Третья производная

/ / 2 2 3 2
| 3*(-1 + sin(x))*cos (x) – sin (x) + sin(x)/ 3*(-1 + sin(x)) *cos (x)|
|1 – 4*sin(x) – ——————————————– + ————————-|*cos(x)
| 2 2|
| 1 + sin (x) – 2*sin(x) / 2 |
1 + sin (x) – 2*sin(x)/ /
————————————————————————————————
________________________
/ 2
/ 1 + sin (x) – 2*sin(x)

$$frac{cos{left (x right )}}{sqrt{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1}} left(frac{3 left(sin{left (x right )} – 1right)^{3} cos^{2}{left (x right )}}{left(sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1right)^{2}} – frac{3 left(sin{left (x right )} – 1right) left(- sin^{2}{left (x right )} + sin{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )}right)}{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1} – 4 sin{left (x right )} + 1right)$$