Дано

$$sqrt{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1}$$
Подробное решение
  1. Заменим
    u = sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1
    .

  2. В силу правила, применим:
    sqrt{u}
    получим
    frac{1}{2 sqrt{u}}

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
    frac{d}{d x}left(sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1right)
    :

    1. дифференцируем
      sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1
      почленно:

      1. дифференцируем
        sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )}
        почленно:

        1. Заменим
          u = sin{left (x right )}
          .

        2. В силу правила, применим:
          u^{2}
          получим
          2 u

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
          frac{d}{d x} sin{left (x right )}
          :

          1. Производная синуса есть косинус:

            frac{d}{d x} sin{left (x right )} = cos{left (x right )}

          В результате последовательности правил:

          2 sin{left (x right )} cos{left (x right )}

        4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная синуса есть косинус:

              frac{d}{d x} sin{left (x right )} = cos{left (x right )}

            Таким образом, в результате:
            2 cos{left (x right )}

          Таким образом, в результате:
          – 2 cos{left (x right )}

        В результате:
        2 sin{left (x right )} cos{left (x right )} – 2 cos{left (x right )}

      2. Производная постоянной
        1
        равна нулю.

      В результате:
      2 sin{left (x right )} cos{left (x right )} – 2 cos{left (x right )}

    В результате последовательности правил:

    frac{2 sin{left (x right )} cos{left (x right )} – 2 cos{left (x right )}}{2 sqrt{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1}}

  4. Теперь упростим:

    frac{left(sin{left (x right )} – 1right) cos{left (x right )}}{sqrt{left(sin{left (x right )} – 1right)^{2}}}


Ответ:

frac{left(sin{left (x right )} – 1right) cos{left (x right )}}{sqrt{left(sin{left (x right )} – 1right)^{2}}}

Первая производная

-cos(x) + cos(x)*sin(x)
—————————
________________________
/ 2
/ sin (x) – 2*sin(x) + 1

$$frac{sin{left (x right )} cos{left (x right )} – cos{left (x right )}}{sqrt{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1}}$$
Вторая производная

2 2
2 2 (-1 + sin(x)) *cos (x)
cos (x) – sin (x) – ———————- + sin(x)
2
1 + sin (x) – 2*sin(x)
—————————————————
________________________
/ 2
/ 1 + sin (x) – 2*sin(x)

$$frac{1}{sqrt{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1}} left(- frac{left(sin{left (x right )} – 1right)^{2} cos^{2}{left (x right )}}{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1} – sin^{2}{left (x right )} + sin{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )}right)$$
Третья производная

/ / 2 2 3 2
| 3*(-1 + sin(x))*cos (x) – sin (x) + sin(x)/ 3*(-1 + sin(x)) *cos (x)|
|1 – 4*sin(x) – ——————————————– + ————————-|*cos(x)
| 2 2|
| 1 + sin (x) – 2*sin(x) / 2 |
1 + sin (x) – 2*sin(x)/ /
————————————————————————————————
________________________
/ 2
/ 1 + sin (x) – 2*sin(x)

$$frac{cos{left (x right )}}{sqrt{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1}} left(frac{3 left(sin{left (x right )} – 1right)^{3} cos^{2}{left (x right )}}{left(sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1right)^{2}} – frac{3 left(sin{left (x right )} – 1right) left(- sin^{2}{left (x right )} + sin{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )}right)}{sin^{2}{left (x right )} – 2 sin{left (x right )} + 1} – 4 sin{left (x right )} + 1right)$$
   
4.55
user732387
Я закончила "Астраханский государственный технический университет" в 2015 году, во время обучения писала очень много статей по юриспруденции, помимо этого работала на кафедре делопроизводителем и знаю все тонкости написания контрольных/курс