Дано

$$int_{0}^{1} frac{1}{cos{left (4 x right )}}, dx$$
Подробное решение
Дан интеграл:

/
|
| 1
| ——– dx
| cos(4*x)
|
/

Подинтегральная функция

1
——–
cos(4*x)

Домножим числитель и знаменатель на

cos(4*x)

получим

1 cos(4*x)
——– = ———
cos(4*x) 2
cos (4*x)

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

2 2
cos (4*x) = 1 – sin (4*x)

преобразуем знаменатель

cos(4*x) cos(4*x)
——— = ————-
2 2
cos (4*x) 1 – sin (4*x)

сделаем замену

u = sin(4*x)

тогда интеграл

/
|
| cos(4*x)
| ————- dx
| 2 =
| 1 – sin (4*x)
|
/

/
|
| cos(4*x)
| ————- dx
| 2 =
| 1 – sin (4*x)
|
/

Т.к. du = 4*dx*cos(4*x)

/
|
| 1
| ———- du
| / 2
| 4*1 – u /
|
/

Перепишем подинтегральную функцию

1 1
—– + —–
1 1 – u 1 + u
———- = ————-
/ 2 8
4*1 – u /

тогда

/ /
| |
| 1 | 1
| —– du | —– du
/ | 1 + u | 1 – u
| | |
| 1 / / =
| ———- du = ———– + ———–
| / 2 8 8
| 4*1 – u /
|
/

= -log(-1 + u)/8 + log(1 + u)/8

делаем обратную замену

u = sin(4*x)

Ответ

/
|
| 1 log(-1 + sin(4*x)) log(1 + sin(4*x))
| ——– dx = – —————— + —————– + C0
| cos(4*x) 8 8
|
/

где C0 – это постоянная, не зависящая от x
Ответ

1
/
|
| 1 log(1 – sin(4)) log(1 + sin(4))
| ——– dx = – ————— + —————
| cos(4*x) 8 8
|
/
0

$${{log left(sin 4+1right)}over{8}}-{{log left(1-sin 4right)
}over{8}}$$
Численный ответ

1.33662301895445

Ответ (Неопределённый)

/
|
| 1 log(-1 + sin(4*x)) log(1 + sin(4*x))
| ——– dx = C – —————— + —————–
| cos(4*x) 8 8
|
/

$${{{{log left(sin left(4,xright)+1right)}over{2}}-{{log
left(sin left(4,xright)-1right)}over{2}}}over{4}}$$
Читайте также  Интеграл sqrt(x^2+1)*dx (dx)
   
4.13
allaraspberry
Имею высшее юридическое образование. Окончила университет с красным дипломом. Занимаюсь написанием научных статей, курсовых работ, рефератов, докладов, решением задач, контрольных работ и т.п. Буду рада сотрудничеству!

Выполненные готовые работы

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.