Дано

$$int_{0}^{1} frac{1}{cos{left (4 x right )}}, dx$$
Подробное решение
Дан интеграл:

/
|
| 1
| ——– dx
| cos(4*x)
|
/

Подинтегральная функция

1
——–
cos(4*x)

Домножим числитель и знаменатель на

cos(4*x)

получим

1 cos(4*x)
——– = ———
cos(4*x) 2
cos (4*x)

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

2 2
cos (4*x) = 1 – sin (4*x)

преобразуем знаменатель

cos(4*x) cos(4*x)
——— = ————-
2 2
cos (4*x) 1 – sin (4*x)

сделаем замену

u = sin(4*x)

тогда интеграл

/
|
| cos(4*x)
| ————- dx
| 2 =
| 1 – sin (4*x)
|
/

/
|
| cos(4*x)
| ————- dx
| 2 =
| 1 – sin (4*x)
|
/

Т.к. du = 4*dx*cos(4*x)

/
|
| 1
| ———- du
| / 2
| 4*1 – u /
|
/

Перепишем подинтегральную функцию

1 1
—– + —–
1 1 – u 1 + u
———- = ————-
/ 2 8
4*1 – u /

тогда

/ /
| |
| 1 | 1
| —– du | —– du
/ | 1 + u | 1 – u
| | |
| 1 / / =
| ———- du = ———– + ———–
| / 2 8 8
| 4*1 – u /
|
/

= -log(-1 + u)/8 + log(1 + u)/8

делаем обратную замену

u = sin(4*x)

Ответ

/
|
| 1 log(-1 + sin(4*x)) log(1 + sin(4*x))
| ——– dx = – —————— + —————– + C0
| cos(4*x) 8 8
|
/

где C0 – это постоянная, не зависящая от x
Ответ

1
/
|
| 1 log(1 – sin(4)) log(1 + sin(4))
| ——– dx = – ————— + —————
| cos(4*x) 8 8
|
/
0

$${{log left(sin 4+1right)}over{8}}-{{log left(1-sin 4right)
}over{8}}$$
Численный ответ

1.33662301895445

Ответ (Неопределённый)

/
|
| 1 log(-1 + sin(4*x)) log(1 + sin(4*x))
| ——– dx = C – —————— + —————–
| cos(4*x) 8 8
|
/

$${{{{log left(sin left(4,xright)+1right)}over{2}}-{{log
left(sin left(4,xright)-1right)}over{2}}}over{4}}$$
   

Выполненные готовые работы

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.

 
4.13
allaraspberry
Имею высшее юридическое образование. Окончила университет с красным дипломом. Занимаюсь написанием научных статей, курсовых работ, рефератов, докладов, решением задач, контрольных работ и т.п. Буду рада сотрудничеству!