Дано

$$int_{0}^{1} frac{1}{sin{left (x right )}}, dx$$
Подробное решение
Дан интеграл:

/
|
| 1
| —— dx
| sin(x)
|
/

Подинтегральная функция

1
——
sin(x)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(x)

получим

1 sin(x)
—— = ——-
sin(x) 2
sin (x)

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

2 2
sin (x) = 1 – cos (x)

преобразуем знаменатель

sin(x) sin(x)
——- = ———–
2 2
sin (x) 1 – cos (x)

сделаем замену

u = cos(x)

тогда интеграл

/
|
| sin(x)
| ———– dx
| 2 =
| 1 – cos (x)
|
/

/
|
| sin(x)
| ———– dx
| 2 =
| 1 – cos (x)
|
/

Т.к. du = -dx*sin(x)

/
|
| -1
| —— du
| 2
| 1 – u
|
/

Перепишем подинтегральную функцию

/ 1 1
-|—– + —–|
-1 1 – u 1 + u/
—— = —————–
2 2
1 – u

тогда

/ /
| |
| 1 | 1
| —– du | —– du
/ | 1 + u | 1 – u
| | |
| -1 / / =
| —— du = – ———– – ———–
| 2 2 2
| 1 – u
|
/

= log(-1 + u)/2 – log(1 + u)/2

делаем обратную замену

u = cos(x)

Ответ

/
|
| 1 log(-1 + cos(x)) log(1 + cos(x))
| —— dx = —————- – ————— + C0
| sin(x) 2 2
|
/

где C0 – это постоянная, не зависящая от x
Ответ

1
/
|
| 1 pi*I
| —— dx = oo + —-
| sin(x) 2
|
/
0

$${it %a}$$
Численный ответ

44.1790108686112

Ответ (Неопределённый)

/
|
| 1 log(-1 + cos(x)) log(1 + cos(x))
| —— dx = C + —————- – —————
| sin(x) 2 2
|
/

$${{log left(cos x-1right)}over{2}}-{{log left(cos x+1right)
}over{2}}$$
Читайте также  Интеграл exp(-x^2) (dx)
   
5.0
avrprog
Занимаюсь созданием сайтов, разработкой устройств на микроконтроллерах avr, пишу на языке Си. Пишу рефераты, контрольные работы, расчетные работы по электротехнике, электронике, радиотехнике, транспортным средствам,

Выполненные готовые работы

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.