Интеграл asin(sqrt(x)) (dx)

1. пусть
   u = sqrt{x}
   .

   Тогда пусть
   du = frac{dx}{2 sqrt{x}}
   и подставим
   2 du
   :

   int u {asin}{left (u right )}, du

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int u {asin}{left (u right )}, du = 2 int u {asin}{left (u right )}, du

      1. Используем интегрирование по частям:

         $$
         int {u} {dv}
         = {u}{v} –
         int {v} {du}
         $$

         пусть $$
         u{left (u right )} = {asin}{left (u right )}
         $$ и пусть $$
         {dv}{left (u right )} = u
         dx.$$

         Затем $$
         {du}{left (u right )} = frac{1}{sqrt{- u^{2} + 1}}
         dx$$ .

         Чтобы найти $$
         v{left (u right )}
         :

         1. Интеграл
            u^{n}
            есть
            frac{u^{n + 1}}{n + 1}
            :

            int u, du = frac{u^{2}}{2}
            $$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $$
         int frac{u^{2}}{2 sqrt{- u^{2} + 1}}, du = frac{1}{2} int frac{u^{2}}{sqrt{- u^{2} + 1}}, du

         1. TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func=’cos’, arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(u < 1, u > -1), context=u**2/sqrt(-u**2 + 1), symbol=u)$$

         Таким образом, результат будет: $$
         frac{1}{2} begin{cases} – frac{u}{2} sqrt{- u^{2} + 1} + frac{1}{2} {asin}{left (u right )} & text{for}: u > -1 wedge u < 1 end{cases} $$

      Таким образом, результат будет: $$
      u^{2} {asin}{left (u right )} – begin{cases} – frac{u}{2} sqrt{- u^{2} + 1} + frac{1}{2} {asin}{left (u right )} & text{for}: u > -1 wedge u < 1 end{cases} $$

   Если сейчас заменить $$
   u
   ещё в:

   x {asin}{left (sqrt{x} right )} – begin{cases} – frac{sqrt{x}}{2} sqrt{- x + 1} + frac{1}{2} {asin}{left (sqrt{x} right )} & text{for}: sqrt{x} > -1 wedge sqrt{x} < 1 end{cases}

2. Теперь упростить:

   begin{cases} frac{sqrt{x}}{2} sqrt{- x + 1} + x {asin}{left (sqrt{x} right )} – frac{1}{2} {asin}{left (sqrt{x} right )} & text{for}: sqrt{x} > -1 wedge sqrt{x} < 1 end{cases} $$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   begin{cases} frac{sqrt{x}}{2} sqrt{- x + 1} + x {asin}{left (sqrt{x} right )} – frac{1}{2} {asin}{left (sqrt{x} right )} & text{for}: sqrt{x} > -1 wedge sqrt{x} < 1 end{cases}+ mathrm{constant}

Ответ:

begin{cases} frac{sqrt{x}}{2} sqrt{- x + 1} + x {asin}{left (sqrt{x} right )} – frac{1}{2} {asin}{left (sqrt{x} right )} & text{for}: sqrt{x} > -1 wedge sqrt{x} < 1 end{cases}+ mathrm{constant}

1
/
|
| / ___ pi
| asin/ x / dx = —
| 4
/
0

0.785398163397448

/
| // / ___ ___ _______
| / ___ ||asin/ x / / x */ 1 – x / ___ ___ | / ___
| asin/ x / dx = C – |<----------- - --------------- for And/ x > -1, / x < 1/| + x*asin/ x / | || 2 2 | / /