Интеграл sin(4*x)-cos(2*x) (dx)

1. Интегрируем почленно:

   1. пусть
      u = 4 x
      .

      Тогда пусть
      du = 4 dx
      и подставим
      frac{du}{4}
      :

      int sin{left (u right )}, du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         int sin{left (u right )}, du = frac{1}{4} int sin{left (u right )}, du

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            int sin{left (u right )}, du = – cos{left (u right )}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         – frac{1}{4} cos{left (u right )}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      – frac{1}{4} cos{left (4 x right )}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int – cos{left (2 x right )}, dx = – int cos{left (2 x right )}, dx

      1. пусть
         u = 2 x
         .

         Тогда пусть
         du = 2 dx
         и подставим
         frac{du}{2}
         :

         int cos{left (u right )}, du

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
            $$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $$
               int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            frac{1}{2} sin{left (u right )}
            $$

         Если сейчас заменить $$
         u
         ещё в:

         frac{1}{2} sin{left (2 x right )}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      – frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

   Результат есть:
   – frac{1}{2} sin{left (2 x right )} – frac{1}{4} cos{left (4 x right )}
   $$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   – frac{1}{2} sin{left (2 x right )} – frac{1}{4} cos{left (4 x right )}+ mathrm{constant}

Ответ:

– frac{1}{2} sin{left (2 x right )} – frac{1}{4} cos{left (4 x right )}+ mathrm{constant}

1
/
| 1 sin(2) cos(4)
| (sin(4*x) – cos(2*x)) dx = – – —— – ——
| 4 2 4
/
0

-0.0412378081969379

/
| sin(2*x) cos(4*x)
| (sin(4*x) – cos(2*x)) dx = C – ——– – ——–
| 2 4
/