Интеграл x*sin(2*x+1) (dx)

1. Используем интегрирование по частям:

   $$
   int {u} {dv}
   = {u}{v} –
   int {v} {du}
   $$

   пусть $$
   u{left (x right )} = x
   $$ и пусть $$
   {dv}{left (x right )} = sin{left (2 x + 1 right )}
   dx.$$

   Затем $$
   {du}{left (x right )} = 1
   dx$$ .

   Чтобы найти $$
   v{left (x right )}
   :

   1. пусть
      u = 2 x + 1
      .

      Тогда пусть
      du = 2 dx
      и подставим
      frac{du}{2}
      :

      int sin{left (u right )}, du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         int sin{left (u right )}, du = frac{1}{2} int sin{left (u right )}, du

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            int sin{left (u right )}, du = – cos{left (u right )}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         – frac{1}{2} cos{left (u right )}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      – frac{1}{2} cos{left (2 x + 1 right )}
      $$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $$
   int – frac{1}{2} cos{left (2 x + 1 right )}, dx = – frac{1}{2} int cos{left (2 x + 1 right )}, dx

   1. пусть
      u = 2 x + 1
      .

      Тогда пусть
      du = 2 dx
      и подставим
      frac{du}{2}
      :

      int cos{left (u right )}, du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
         $$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $$
            int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         frac{1}{2} sin{left (u right )}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      frac{1}{2} sin{left (2 x + 1 right )}
      $$

   Таким образом, результат будет: $$
   – frac{1}{4} sin{left (2 x + 1 right )}

3. Теперь упростить:

   – frac{x}{2} cos{left (2 x + 1 right )} + frac{1}{4} sin{left (2 x + 1 right )}
   $$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   – frac{x}{2} cos{left (2 x + 1 right )} + frac{1}{4} sin{left (2 x + 1 right )}+ mathrm{constant}

Ответ:

– frac{x}{2} cos{left (2 x + 1 right )} + frac{1}{4} sin{left (2 x + 1 right )}+ mathrm{constant}

1
/
| cos(3) sin(1) sin(3)
| x*sin(2*x + 1) dx = – —— – —— + ——
| 2 4 4
/
0

0.319908504113215

/
| sin(2*x + 1) x*cos(2*x + 1)
| x*sin(2*x + 1) dx = C + ———— – ————–
| 4 2
/