100*x+100*z=75 150*y+150*z=100 z-x-y=0

150*y + 150*z = 100

z – x – y = 0

0.277777777777778

$$z_{1} = frac{17}{36}$$
=
$$frac{17}{36}$$
=

0.472222222222222

$$y_{1} = frac{7}{36}$$
=
$$frac{7}{36}$$
=

0.194444444444444

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$100 x + 100 z = 75$$
$$150 y + 150 z = 100$$
$$- x – y + z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}100 x_{3} + 100 x_{1} + 0 x_{2}150 x_{3} + 0 x_{1} + 150 x_{2}x_{3} + – x_{1} – x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}75100end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}100 & 0 & 100 & 150 & 150 -1 & -1 & 1end{matrix}right] right )} = 45000$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{45000} {det}{left (left[begin{matrix}75 & 0 & 100100 & 150 & 150 & -1 & 1end{matrix}right] right )} = frac{5}{18}$$
$$x_{2} = frac{1}{45000} {det}{left (left[begin{matrix}100 & 75 & 100 & 100 & 150 -1 & 0 & 1end{matrix}right] right )} = frac{7}{36}$$
$$x_{3} = frac{1}{45000} {det}{left (left[begin{matrix}100 & 0 & 75 & 150 & 100 -1 & -1 & 0end{matrix}right] right )} = frac{17}{36}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$100 x + 100 z = 75$$
$$150 y + 150 z = 100$$
$$- x – y + z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}100 & 0 & 100 & 75 & 150 & 150 & 100 -1 & -1 & 1 & 0end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}100 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}100 & 0 & 100 & 75end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -1 & 2 & – frac{-3}{4}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1 & 2 & frac{3}{4}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}100 & 0 & 100 & 75 & 150 & 150 & 100 & -1 & 2 & frac{3}{4}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}0150 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 150 & 150 & 100end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 3 & – frac{-2}{3} + frac{3}{4}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 3 & frac{17}{12}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}100 & 0 & 100 & 75 & 150 & 150 & 100 & 0 & 3 & frac{17}{12}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}1001503end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 3 & frac{17}{12}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}100 & 0 & 0 & – frac{425}{9} + 75end{matrix}right] = left[begin{matrix}100 & 0 & 0 & frac{250}{9}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}100 & 0 & 0 & frac{250}{9} & 150 & 150 & 100 & 0 & 3 & frac{17}{12}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 150 & 0 & – frac{425}{6} + 100end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 150 & 0 & frac{175}{6}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}100 & 0 & 0 & frac{250}{9} & 150 & 0 & frac{175}{6} & 0 & 3 & frac{17}{12}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$100 x_{1} – frac{250}{9} = 0$$
$$150 x_{2} – frac{175}{6} = 0$$
$$3 x_{3} – frac{17}{12} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = frac{5}{18}$$
$$x_{2} = frac{7}{36}$$
$$x_{3} = frac{17}{36}$$

x1 = 0.2777777777777778
y1 = 0.1944444444444444
z1 = 0.4722222222222222