Дано

$$- 100 y_{2} + 100 x_{2} + – 100 x_{1} + 75 y_{1} = -12500$$

-100*y1 – 75*x1 + 100*y2 + 100*x2 = -2500

$$100 x_{2} + 100 y_{2} + – 75 x_{1} – 100 y_{1} = -2500$$

-3*x2 – y2 + 4*x1 = -400

$$4 x_{1} + – 3 x_{2} – y_{2} = -400$$

-3*y2 + x2 + 4*y1 = 200

$$4 y_{1} + x_{2} – 3 y_{2} = 200$$
Ответ
$$y_{11} = frac{21700}{61}$$
=
$$frac{21700}{61}$$
=

355.737704918033

$$x_{11} = – frac{5300}{61}$$
=
$$- frac{5300}{61}$$
=

-86.8852459016393

$$x_{21} = – frac{6500}{61}$$
=
$$- frac{6500}{61}$$
=

-106.557377049180

$$y_{21} = frac{22700}{61}$$
=
$$frac{22700}{61}$$
=

372.131147540984

Метод Крамера
$$- 100 y_{2} + 100 x_{2} + – 100 x_{1} + 75 y_{1} = -12500$$
$$100 x_{2} + 100 y_{2} + – 75 x_{1} – 100 y_{1} = -2500$$
$$4 x_{1} + – 3 x_{2} – y_{2} = -400$$
$$4 y_{1} + x_{2} – 3 y_{2} = 200$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 100 x_{1} + 100 x_{2} + 75 y_{1} – 100 y_{2} = -12500$$
$$- 75 x_{1} + 100 x_{2} – 100 y_{1} + 100 y_{2} = -2500$$
$$4 x_{1} – 3 x_{2} – y_{2} = -400$$
$$x_{2} + 4 y_{1} – 3 y_{2} = 200$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}- 100 x_{4} + 75 x_{3} + – 100 x_{1} + 100 x_{2}100 x_{4} + – 100 x_{3} + – 75 x_{1} + 100 x_{2} – x_{4} + 0 x_{3} + 4 x_{1} – 3 x_{2} – 3 x_{4} + 4 x_{3} + 0 x_{1} + x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}-12500 -2500 -400200end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}-100 & 100 & 75 & -100 -75 & 100 & -100 & 1004 & -3 & 0 & -1 & 1 & 4 & -3end{matrix}right] right )} = -76250$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{76250} {det}{left (left[begin{matrix}-12500 & 100 & 75 & -100 -2500 & 100 & -100 & 100 -400 & -3 & 0 & -1200 & 1 & 4 & -3end{matrix}right] right )} = – frac{5300}{61}$$
$$x_{2} = – frac{1}{76250} {det}{left (left[begin{matrix}-100 & -12500 & 75 & -100 -75 & -2500 & -100 & 1004 & -400 & 0 & -1 & 200 & 4 & -3end{matrix}right] right )} = – frac{6500}{61}$$
$$x_{3} = – frac{1}{76250} {det}{left (left[begin{matrix}-100 & 100 & -12500 & -100 -75 & 100 & -2500 & 1004 & -3 & -400 & -1 & 1 & 200 & -3end{matrix}right] right )} = frac{21700}{61}$$
$$x_{4} = – frac{1}{76250} {det}{left (left[begin{matrix}-100 & 100 & 75 & -12500 -75 & 100 & -100 & -25004 & -3 & 0 & -400 & 1 & 4 & 200end{matrix}right] right )} = frac{22700}{61}$$

Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$- 100 y_{2} + 100 x_{2} + – 100 x_{1} + 75 y_{1} = -12500$$
$$100 x_{2} + 100 y_{2} + – 75 x_{1} – 100 y_{1} = -2500$$
$$4 x_{1} + – 3 x_{2} – y_{2} = -400$$
$$4 y_{1} + x_{2} – 3 y_{2} = 200$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 100 x_{1} + 100 x_{2} + 75 y_{1} – 100 y_{2} = -12500$$
$$- 75 x_{1} + 100 x_{2} – 100 y_{1} + 100 y_{2} = -2500$$
$$4 x_{1} – 3 x_{2} – y_{2} = -400$$
$$x_{2} + 4 y_{1} – 3 y_{2} = 200$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}-100 & 100 & 75 & -100 & -12500 -75 & 100 & -100 & 100 & -25004 & -3 & 0 & -1 & -400 & 1 & 4 & -3 & 200end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}-100 -754end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}4 & -3 & 0 & -1 & -400end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 75 & -125 & -22500end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 25 & 75 & -125 & -22500end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 75 & -125 & -22500 -75 & 100 & -100 & 100 & -25004 & -3 & 0 & -1 & -400 & 1 & 4 & -3 & 200end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{225}{4} + 100 & -100 & – frac{75}{4} + 100 & -10000end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{175}{4} & -100 & frac{325}{4} & -10000end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 75 & -125 & -22500 & frac{175}{4} & -100 & frac{325}{4} & -100004 & -3 & 0 & -1 & -400 & 1 & 4 & -3 & 200end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}25\frac{175}{4} -31end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 75 & -125 & -22500end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{175}{4} + frac{175}{4} & – frac{525}{4} – 100 & frac{325}{4} – – frac{875}{4} & 29375end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{925}{4} & 300 & 29375end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 75 & -125 & -22500 & 0 & – frac{925}{4} & 300 & 293754 & -3 & 0 & -1 & -400 & 1 & 4 & -3 & 200end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}4 & 0 & 9 & -16 & -3100end{matrix}right] = left[begin{matrix}4 & 0 & 9 & -16 & -3100end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 75 & -125 & -22500 & 0 & – frac{925}{4} & 300 & 293754 & 0 & 9 & -16 & -3100 & 1 & 4 & -3 & 200end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 2 & 1100end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 2 & 1100end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 75 & -125 & -22500 & 0 & – frac{925}{4} & 300 & 293754 & 0 & 9 & -16 & -3100 & 0 & 1 & 2 & 1100end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}75 – frac{925}{4}91end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{925}{4} & 300 & 29375end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 0 & -125 – – frac{3600}{37} & -22500 – – frac{352500}{37}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 25 & 0 & – frac{1025}{37} & – frac{480000}{37}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 0 & – frac{1025}{37} & – frac{480000}{37} & 0 & – frac{925}{4} & 300 & 293754 & 0 & 9 & -16 & -3100 & 0 & 1 & 2 & 1100end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & -16 – – frac{432}{37} & -3100 – – frac{42300}{37}end{matrix}right] = left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & – frac{160}{37} & – frac{72400}{37}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 0 & – frac{1025}{37} & – frac{480000}{37} & 0 & – frac{925}{4} & 300 & 293754 & 0 & 0 & – frac{160}{37} & – frac{72400}{37} & 0 & 1 & 2 & 1100end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & – frac{-48}{37} + 2 & – frac{-4700}{37} + 1100end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & frac{122}{37} & frac{45400}{37}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 0 & – frac{1025}{37} & – frac{480000}{37} & 0 & – frac{925}{4} & 300 & 293754 & 0 & 0 & – frac{160}{37} & – frac{72400}{37} & 0 & 0 & frac{122}{37} & frac{45400}{37}end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}- frac{1025}{37}300 – frac{160}{37}\frac{122}{37}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 4 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & frac{122}{37} & frac{45400}{37}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 0 & – frac{1025}{37} – – frac{1025}{37} & – frac{480000}{37} – – frac{23267500}{2257}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 25 & 0 & 0 & – frac{162500}{61}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 0 & 0 & – frac{162500}{61} & 0 & – frac{925}{4} & 300 & 293754 & 0 & 0 & – frac{160}{37} & – frac{72400}{37} & 0 & 0 & frac{122}{37} & frac{45400}{37}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{925}{4} & 0 & – frac{6810000}{61} + 29375end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{925}{4} & 0 & – frac{5018125}{61}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 0 & 0 & – frac{162500}{61} & 0 & – frac{925}{4} & 0 & – frac{5018125}{61}4 & 0 & 0 & – frac{160}{37} & – frac{72400}{37} & 0 & 0 & frac{122}{37} & frac{45400}{37}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & – frac{160}{37} – – frac{160}{37} & – frac{72400}{37} – – frac{3632000}{2257}end{matrix}right] = left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0 & – frac{21200}{61}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 25 & 0 & 0 & – frac{162500}{61} & 0 & – frac{925}{4} & 0 & – frac{5018125}{61}4 & 0 & 0 & 0 & – frac{21200}{61} & 0 & 0 & frac{122}{37} & frac{45400}{37}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$25 x_{2} + frac{162500}{61} = 0$$
$$- frac{925 x_{3}}{4} + frac{5018125}{61} = 0$$
$$4 x_{1} + frac{21200}{61} = 0$$
$$frac{122 x_{4}}{37} – frac{45400}{37} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = – frac{6500}{61}$$
$$x_{3} = frac{21700}{61}$$
$$x_{1} = – frac{5300}{61}$$
$$x_{4} = frac{22700}{61}$$

Численный ответ

x11 = -86.88524590163934
x21 = -106.5573770491803
y11 = 355.7377049180328
y21 = 372.1311475409836

   
4.71
alinasibem
Являюсь магистром Кубанского государственного университета. Кафедры Мировой экономики и менеджмента. Имею большой опыт в написании работ по экономики и статистики, а также в решении финансовых задач.