-15*x+40*y-38*z+61*t=-106 -8*x+21*y-19*z+31*t=-54 4*x-10*y+9*z-16*t=26 2*x-5*y+4*z-7*t=12

-8*x + 21*y – 19*z + 31*t = -54

4*x – 10*y + 9*z – 16*t = 26

2*x – 5*y + 4*z – 7*t = 12

-5 + 3.5*z

$$y_{1} = frac{3 z}{2} – 3$$
=
$$frac{3 z}{2} – 3$$
=

-3 + 1.5*z

$$t_{1} = frac{z}{2} – 1$$
=
$$frac{z}{2} – 1$$
=

-1 + 0.5*z

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$61 t – 15 x + 40 y – 38 z = -106$$
$$31 t – 8 x + 21 y – 19 z = -54$$
$$- 16 t + 4 x – 10 y + 9 z = 26$$
$$- 7 t + 2 x – 5 y + 4 z = 12$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}61 & -15 & 40 & -38 & -10631 & -8 & 21 & -19 & -54 -16 & 4 & -10 & 9 & 26 -7 & 2 & -5 & 4 & 12end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}6131 -16 -7end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}61 & -15 & 40 & -38 & -106end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -8 – – frac{465}{61} & – frac{1240}{61} + 21 & -19 – – frac{1178}{61} & -54 – – frac{3286}{61}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{23}{61} & frac{41}{61} & frac{19}{61} & – frac{8}{61}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}61 & -15 & 40 & -38 & -106 & – frac{23}{61} & frac{41}{61} & frac{19}{61} & – frac{8}{61} -16 & 4 & -10 & 9 & 26 -7 & 2 & -5 & 4 & 12end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{240}{61} + 4 & -10 – – frac{640}{61} & – frac{608}{61} + 9 & – frac{1696}{61} + 26end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{4}{61} & frac{30}{61} & – frac{59}{61} & – frac{110}{61}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}61 & -15 & 40 & -38 & -106 & – frac{23}{61} & frac{41}{61} & frac{19}{61} & – frac{8}{61} & frac{4}{61} & frac{30}{61} & – frac{59}{61} & – frac{110}{61} -7 & 2 & -5 & 4 & 12end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{105}{61} + 2 & -5 – – frac{280}{61} & – frac{266}{61} + 4 & – frac{742}{61} + 12end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{17}{61} & – frac{25}{61} & – frac{22}{61} & – frac{10}{61}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}61 & -15 & 40 & -38 & -106 & – frac{23}{61} & frac{41}{61} & frac{19}{61} & – frac{8}{61} & frac{4}{61} & frac{30}{61} & – frac{59}{61} & – frac{110}{61} & frac{17}{61} & – frac{25}{61} & – frac{22}{61} & – frac{10}{61}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}-15 – frac{23}{61}\frac{4}{61}\frac{17}{61}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & – frac{23}{61} & frac{41}{61} & frac{19}{61} & – frac{8}{61}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}61 & 0 & – frac{615}{23} + 40 & -38 – frac{285}{23} & -106 – – frac{120}{23}end{matrix}right] = left[begin{matrix}61 & 0 & frac{305}{23} & – frac{1159}{23} & – frac{2318}{23}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}61 & 0 & frac{305}{23} & – frac{1159}{23} & – frac{2318}{23} & – frac{23}{61} & frac{41}{61} & frac{19}{61} & – frac{8}{61} & frac{4}{61} & frac{30}{61} & – frac{59}{61} & – frac{110}{61} & frac{17}{61} & – frac{25}{61} & – frac{22}{61} & – frac{10}{61}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{4}{61} + frac{4}{61} & – frac{-164}{1403} + frac{30}{61} & – frac{59}{61} – – frac{76}{1403} & – frac{110}{61} – frac{32}{1403}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{14}{23} & – frac{21}{23} & – frac{42}{23}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}61 & 0 & frac{305}{23} & – frac{1159}{23} & – frac{2318}{23} & – frac{23}{61} & frac{41}{61} & frac{19}{61} & – frac{8}{61} & 0 & frac{14}{23} & – frac{21}{23} & – frac{42}{23} & frac{17}{61} & – frac{25}{61} & – frac{22}{61} & – frac{10}{61}end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{17}{61} + frac{17}{61} & – frac{25}{61} – – frac{697}{1403} & – frac{22}{61} – – frac{323}{1403} & – frac{10}{61} – frac{136}{1403}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{2}{23} & – frac{3}{23} & – frac{6}{23}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}61 & 0 & frac{305}{23} & – frac{1159}{23} & – frac{2318}{23} & – frac{23}{61} & frac{41}{61} & frac{19}{61} & – frac{8}{61} & 0 & frac{14}{23} & – frac{21}{23} & – frac{42}{23} & 0 & frac{2}{23} & – frac{3}{23} & – frac{6}{23}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{305}{23}\frac{41}{61}\frac{14}{23}\frac{2}{23}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{14}{23} & – frac{21}{23} & – frac{42}{23}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}61 & 0 & – frac{305}{23} + frac{305}{23} & – frac{1159}{23} – – frac{915}{46} & – frac{2318}{23} – – frac{915}{23}end{matrix}right] = left[begin{matrix}61 & 0 & 0 & – frac{61}{2} & -61end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}61 & 0 & 0 & – frac{61}{2} & -61 & – frac{23}{61} & frac{41}{61} & frac{19}{61} & – frac{8}{61} & 0 & frac{14}{23} & – frac{21}{23} & – frac{42}{23} & 0 & frac{2}{23} & – frac{3}{23} & – frac{6}{23}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{23}{61} & – frac{41}{61} + frac{41}{61} & frac{19}{61} – – frac{123}{122} & – frac{8}{61} – – frac{123}{61}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{23}{61} & 0 & frac{161}{122} & frac{115}{61}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}61 & 0 & 0 & – frac{61}{2} & -61 & – frac{23}{61} & 0 & frac{161}{122} & frac{115}{61} & 0 & frac{14}{23} & – frac{21}{23} & – frac{42}{23} & 0 & frac{2}{23} & – frac{3}{23} & – frac{6}{23}end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{2}{23} + frac{2}{23} & – frac{3}{23} – – frac{3}{23} & – frac{6}{23} – – frac{6}{23}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}61 & 0 & 0 & – frac{61}{2} & -61 & – frac{23}{61} & 0 & frac{161}{122} & frac{115}{61} & 0 & frac{14}{23} & – frac{21}{23} & – frac{42}{23} & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$61 x_{1} – frac{61 x_{4}}{2} + 61 = 0$$
$$- frac{23 x_{2}}{61} + frac{161 x_{4}}{122} – frac{115}{61} = 0$$
$$frac{14 x_{3}}{23} – frac{21 x_{4}}{23} + frac{42}{23} = 0$$
$$0 – 0 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = frac{x_{4}}{2} – 1$$
$$x_{2} = frac{7 x_{4}}{2} – 5$$
$$x_{3} = frac{3 x_{4}}{2} – 3$$
где x4 – свободные переменные