18*a-2*b+11*c=70 -2*a+12*b+7*c=50 11*a+7*b+21*c+3*d=100 9*d+3*c=0

-2*a + 12*b + 7*c = 50

11*a + 7*b + 21*c + 3*d = 100

9*d + 3*c = 0

2.24030037546934

$$b_{1} = frac{2670}{799}$$
=
$$frac{2670}{799}$$
=

3.34167709637046

$$a_{1} = frac{2310}{799}$$
=
$$frac{2310}{799}$$
=

2.89111389236546

$$d_{1} = – frac{1790}{2397}$$
=
$$- frac{1790}{2397}$$
=

-0.746766791823112

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$18 a – 2 b + 11 c = 70$$
$$- 2 a + 12 b + 7 c = 50$$
$$11 a + 7 b + 21 c + 3 d = 100$$
$$3 c + 9 d = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}0 x_{4} + 11 x_{3} + 18 x_{1} – 2 x_{2} x_{4} + 7 x_{3} + – 2 x_{1} + 12 x_{2}3 x_{4} + 21 x_{3} + 11 x_{1} + 7 x_{2}9 x_{4} + 3 x_{3} + 0 x_{1} + 0 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}7050100end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}18 & -2 & 11 & 0 -2 & 12 & 7 & 011 & 7 & 21 & 3 & 0 & 3 & 9end{matrix}right] right )} = 14382$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{14382} {det}{left (left[begin{matrix}70 & -2 & 11 & 050 & 12 & 7 & 0100 & 7 & 21 & 3 & 0 & 3 & 9end{matrix}right] right )} = frac{2310}{799}$$
$$x_{2} = frac{1}{14382} {det}{left (left[begin{matrix}18 & 70 & 11 & 0 -2 & 50 & 7 & 011 & 100 & 21 & 3 & 0 & 3 & 9end{matrix}right] right )} = frac{2670}{799}$$
$$x_{3} = frac{1}{14382} {det}{left (left[begin{matrix}18 & -2 & 70 & 0 -2 & 12 & 50 & 011 & 7 & 100 & 3 & 0 & 0 & 9end{matrix}right] right )} = frac{1790}{799}$$
$$x_{4} = frac{1}{14382} {det}{left (left[begin{matrix}18 & -2 & 11 & 70 -2 & 12 & 7 & 5011 & 7 & 21 & 100 & 0 & 3 & 0end{matrix}right] right )} = – frac{1790}{2397}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$18 a – 2 b + 11 c = 70$$
$$- 2 a + 12 b + 7 c = 50$$
$$11 a + 7 b + 21 c + 3 d = 100$$
$$3 c + 9 d = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}18 & -2 & 11 & 0 & 70 -2 & 12 & 7 & 0 & 5011 & 7 & 21 & 3 & 100 & 0 & 3 & 9 & 0end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}18 -211end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}18 & -2 & 11 & 0 & 70end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{2}{9} + 12 & – frac{-11}{9} + 7 & 0 & – frac{-70}{9} + 50end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{106}{9} & frac{74}{9} & 0 & frac{520}{9}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}18 & -2 & 11 & 0 & 70 & frac{106}{9} & frac{74}{9} & 0 & frac{520}{9}11 & 7 & 21 & 3 & 100 & 0 & 3 & 9 & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{-11}{9} + 7 & – frac{121}{18} + 21 & 3 & – frac{385}{9} + 100end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{74}{9} & frac{257}{18} & 3 & frac{515}{9}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}18 & -2 & 11 & 0 & 70 & frac{106}{9} & frac{74}{9} & 0 & frac{520}{9} & frac{74}{9} & frac{257}{18} & 3 & frac{515}{9} & 0 & 3 & 9 & 0end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}-2\frac{106}{9}\frac{74}{9}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{106}{9} & frac{74}{9} & 0 & frac{520}{9}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}18 & 0 & – frac{-74}{53} + 11 & 0 & – frac{-520}{53} + 70end{matrix}right] = left[begin{matrix}18 & 0 & frac{657}{53} & 0 & frac{4230}{53}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}18 & 0 & frac{657}{53} & 0 & frac{4230}{53} & frac{106}{9} & frac{74}{9} & 0 & frac{520}{9} & frac{74}{9} & frac{257}{18} & 3 & frac{515}{9} & 0 & 3 & 9 & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{74}{9} + frac{74}{9} & – frac{2738}{477} + frac{257}{18} & 3 & – frac{19240}{477} + frac{515}{9}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{905}{106} & 3 & frac{895}{53}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}18 & 0 & frac{657}{53} & 0 & frac{4230}{53} & frac{106}{9} & frac{74}{9} & 0 & frac{520}{9} & 0 & frac{905}{106} & 3 & frac{895}{53} & 0 & 3 & 9 & 0end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{657}{53}\frac{74}{9}\frac{905}{106}3end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}18 & 0 & frac{657}{53} & 0 & frac{4230}{53}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{7844}{657} & frac{106}{9} & – frac{74}{9} + frac{74}{9} & 0 & – frac{34780}{657} + frac{520}{9}end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{7844}{657} & frac{106}{9} & 0 & 0 & frac{1060}{219}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}18 & 0 & frac{657}{53} & 0 & frac{4230}{53} – frac{7844}{657} & frac{106}{9} & 0 & 0 & frac{1060}{219} & 0 & frac{905}{106} & 3 & frac{895}{53} & 0 & 3 & 9 & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{905}{73} & 0 & – frac{905}{106} + frac{905}{106} & 3 & – frac{212675}{3869} + frac{895}{53}end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{905}{73} & 0 & 0 & 3 & – frac{2780}{73}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}18 & 0 & frac{657}{53} & 0 & frac{4230}{53} – frac{7844}{657} & frac{106}{9} & 0 & 0 & frac{1060}{219} – frac{905}{73} & 0 & 0 & 3 & – frac{2780}{73} & 0 & 3 & 9 & 0end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{318}{73} & 0 & 0 & 9 & – frac{1410}{73}end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{318}{73} & 0 & 0 & 9 & – frac{1410}{73}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}18 & 0 & frac{657}{53} & 0 & frac{4230}{53} – frac{7844}{657} & frac{106}{9} & 0 & 0 & frac{1060}{219} – frac{905}{73} & 0 & 0 & 3 & – frac{2780}{73} – frac{318}{73} & 0 & 0 & 9 & – frac{1410}{73}end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}039end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}- frac{905}{73} & 0 & 0 & 3 & – frac{2780}{73}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{318}{73} – – frac{2715}{73} & 0 & 0 & 0 & – frac{1410}{73} – – frac{8340}{73}end{matrix}right] = left[begin{matrix}frac{2397}{73} & 0 & 0 & 0 & frac{6930}{73}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}18 & 0 & frac{657}{53} & 0 & frac{4230}{53} – frac{7844}{657} & frac{106}{9} & 0 & 0 & frac{1060}{219} – frac{905}{73} & 0 & 0 & 3 & – frac{2780}{73}\frac{2397}{73} & 0 & 0 & 0 & frac{6930}{73}end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}18 – frac{7844}{657} – frac{905}{73}\frac{2397}{73}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 4 ую строку
$$left[begin{matrix}frac{2397}{73} & 0 & 0 & 0 & frac{6930}{73}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{657}{53} & 0 & – frac{41580}{799} + frac{4230}{53}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{657}{53} & 0 & frac{1176030}{42347}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{657}{53} & 0 & frac{1176030}{42347} – frac{7844}{657} & frac{106}{9} & 0 & 0 & frac{1060}{219} – frac{905}{73} & 0 & 0 & 3 & – frac{2780}{73}\frac{2397}{73} & 0 & 0 & 0 & frac{6930}{73}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{7844}{657} – – frac{7844}{657} & frac{106}{9} & 0 & 0 & frac{1060}{219} – – frac{6039880}{174981}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{106}{9} & 0 & 0 & frac{94340}{2397}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{657}{53} & 0 & frac{1176030}{42347} & frac{106}{9} & 0 & 0 & frac{94340}{2397} – frac{905}{73} & 0 & 0 & 3 & – frac{2780}{73}\frac{2397}{73} & 0 & 0 & 0 & frac{6930}{73}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{905}{73} – – frac{905}{73} & 0 & 0 & 3 & – frac{2780}{73} – – frac{2090550}{58327}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 3 & – frac{1790}{799}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 &
0 & frac{657}{53} & 0 & frac{1176030}{42347} & frac{106}{9} & 0 & 0 & frac{94340}{2397} & 0 & 0 & 3 & – frac{1790}{799}\frac{2397}{73} & 0 & 0 & 0 & frac{6930}{73}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$frac{657 x_{3}}{53} – frac{1176030}{42347} = 0$$
$$frac{106 x_{2}}{9} – frac{94340}{2397} = 0$$
$$3 x_{4} + frac{1790}{799} = 0$$
$$frac{2397 x_{1}}{73} – frac{6930}{73} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{3} = frac{1790}{799}$$
$$x_{2} = frac{2670}{799}$$
$$x_{4} = – frac{1790}{2397}$$
$$x_{1} = frac{2310}{799}$$

a1 = 2.891113892365457
b1 = 3.341677096370463
c1 = 2.240300375469337
d1 = -0.7467667918231122