2*x+3*y+4*z=33 7*x-5*y=24 4*x+11*z=39

7*x – 5*y = 24

4*x + 11*z = 39

7

$$z_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$y_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 3 y + 4 z = 33$$
$$7 x – 5 y = 24$$
$$4 x + 11 z = 39$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}4 x_{3} + 2 x_{1} + 3 x_{2} x_{3} + 7 x_{1} – 5 x_{2}11 x_{3} + 4 x_{1} + 0 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}332439end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}2 & 3 & 47 & -5 & 04 & 0 & 11end{matrix}right] right )} = -261$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{261} {det}{left (left[begin{matrix}33 & 3 & 424 & -5 & 039 & 0 & 11end{matrix}right] right )} = 7$$
$$x_{2} = – frac{1}{261} {det}{left (left[begin{matrix}2 & 33 & 47 & 24 & 04 & 39 & 11end{matrix}right] right )} = 5$$
$$x_{3} = – frac{1}{261} {det}{left (left[begin{matrix}2 & 3 & 337 & -5 & 244 & 0 & 39end{matrix}right] right )} = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 3 y + 4 z = 33$$
$$7 x – 5 y = 24$$
$$4 x + 11 z = 39$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}2 & 3 & 4 & 337 & -5 & 0 & 244 & 0 & 11 & 39end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}274end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}7 & -5 & 0 & 24end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{-10}{7} + 3 & 4 & – frac{48}{7} + 33end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{31}{7} & 4 & frac{183}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{31}{7} & 4 & frac{183}{7}7 & -5 & 0 & 244 & 0 & 11 & 39end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{-20}{7} & 11 & – frac{96}{7} + 39end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{20}{7} & 11 & frac{177}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{31}{7} & 4 & frac{183}{7}7 & -5 & 0 & 24 & frac{20}{7} & 11 & frac{177}{7}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{31}{7} -5\frac{20}{7}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{31}{7} & 4 & frac{183}{7}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}7 & 0 & – frac{-140}{31} & 24 – – frac{915}{31}end{matrix}right] = left[begin{matrix}7 & 0 & frac{140}{31} & frac{1659}{31}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{31}{7} & 4 & frac{183}{7}7 & 0 & frac{140}{31} & frac{1659}{31} & frac{20}{7} & 11 & frac{177}{7}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{20}{7} + frac{20}{7} & – frac{80}{31} + 11 & – frac{3660}{217} + frac{177}{7}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{261}{31} & frac{261}{31}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{31}{7} & 4 & frac{183}{7}7 & 0 & frac{140}{31} & frac{1659}{31} & 0 & frac{261}{31} & frac{261}{31}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}4\frac{140}{31}\frac{261}{31}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{261}{31} & frac{261}{31}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & frac{31}{7} & 0 & frac{155}{7}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{31}{7} & 0 & frac{155}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{31}{7} & 0 & frac{155}{7}7 & 0 & frac{140}{31} & frac{1659}{31} & 0 & frac{261}{31} & frac{261}{31}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}7 & 0 & – frac{140}{31} + frac{140}{31} & – frac{140}{31} + frac{1659}{31}end{matrix}right] = left[begin{matrix}7 & 0 & 0 & 49end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{31}{7} & 0 & frac{155}{7}7 & 0 & 0 & 49 & 0 & frac{261}{31} & frac{261}{31}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$frac{31 x_{2}}{7} – frac{155}{7} = 0$$
$$7 x_{1} – 49 = 0$$
$$frac{261 x_{3}}{31} – frac{261}{31} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{3} = 1$$

x1 = 7.00000000000000
y1 = 5.00000000000000
z1 = 1.00000000000000