3*x-2*y+z=10 x+5*y-2*z=-15 2*x-2*y-z=3

x + 5*y – 2*z = -15

2*x – 2*y – z = 3

1

$$z_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=

-2

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x – 2 y + z = 10$$
$$x + 5 y – 2 z = -15$$
$$2 x – 2 y – z = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}x_{3} + 3 x_{1} – 2 x_{2} – 2 x_{3} + x_{1} + 5 x_{2} – x_{3} + 2 x_{1} – 2 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}10 -153end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}3 & -2 & 11 & 5 & -22 & -2 & -1end{matrix}right] right )} = -33$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{33} {det}{left (left[begin{matrix}10 & -2 & 1 -15 & 5 & -23 & -2 & -1end{matrix}right] right )} = 1$$
$$x_{2} = – frac{1}{33} {det}{left (left[begin{matrix}3 & 10 & 11 & -15 & -22 & 3 & -1end{matrix}right] right )} = -2$$
$$x_{3} = – frac{1}{33} {det}{left (left[begin{matrix}3 & -2 & 101 & 5 & -152 & -2 & 3end{matrix}right] right )} = 3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x – 2 y + z = 10$$
$$x + 5 y – 2 z = -15$$
$$2 x – 2 y – z = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}3 & -2 & 1 & 101 & 5 & -2 & -152 & -2 & -1 & 3end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}312end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}3 & -2 & 1 & 10end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{-2}{3} + 5 & -2 – frac{1}{3} & -15 – frac{10}{3}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{17}{3} & – frac{7}{3} & – frac{55}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & -2 & 1 & 10 & frac{17}{3} & – frac{7}{3} & – frac{55}{3}2 & -2 & -1 & 3end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -2 – – frac{4}{3} & -1 – frac{2}{3} & – frac{20}{3} + 3end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{2}{3} & – frac{5}{3} & – frac{11}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & -2 & 1 & 10 & frac{17}{3} & – frac{7}{3} & – frac{55}{3} & – frac{2}{3} & – frac{5}{3} & – frac{11}{3}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}-2\frac{17}{3} – frac{2}{3}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{17}{3} & – frac{7}{3} & – frac{55}{3}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}3 & 0 & – frac{14}{17} + 1 & – frac{110}{17} + 10end{matrix}right] = left[begin{matrix}3 & 0 & frac{3}{17} & frac{60}{17}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & frac{3}{17} & frac{60}{17} & frac{17}{3} & – frac{7}{3} & – frac{55}{3} & – frac{2}{3} & – frac{5}{3} & – frac{11}{3}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{2}{3} – – frac{2}{3} & – frac{5}{3} – frac{14}{51} & – frac{11}{3} – frac{110}{51}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{33}{17} & – frac{99}{17}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & frac{3}{17} & frac{60}{17} & frac{17}{3} & – frac{7}{3} & – frac{55}{3} & 0 & – frac{33}{17} & – frac{99}{17}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{3}{17} – frac{7}{3} – frac{33}{17}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{33}{17} & – frac{99}{17}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}3 & 0 & – frac{3}{17} + frac{3}{17} & – frac{9}{17} + frac{60}{17}end{matrix}right] = left[begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3 & frac{17}{3} & – frac{7}{3} & – frac{55}{3} & 0 & – frac{33}{17} & – frac{99}{17}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & frac{17}{3} & – frac{7}{3} – – frac{7}{3} & – frac{34}{3}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{17}{3} & 0 & – frac{34}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3 & frac{17}{3} & 0 & – frac{34}{3} & 0 & – frac{33}{17} & – frac{99}{17}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} – 3 = 0$$
$$frac{17 x_{2}}{3} + frac{34}{3} = 0$$
$$- frac{33 x_{3}}{17} + frac{99}{17} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 3$$

x1 = 1.00000000000000
y1 = -2.00000000000000
z1 = 3.00000000000000