3*x+2*y+z=5 2*x+3*y+z=1 2*x+y+3*z=11

2*x + 3*y + z = 1

2*x + y + 3*z = 11

2

$$z_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=

-2

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 2 y + z = 5$$
$$2 x + 3 y + z = 1$$
$$2 x + y + 3 z = 11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}x_{3} + 3 x_{1} + 2 x_{2}x_{3} + 2 x_{1} + 3 x_{2}3 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}5111end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}3 & 2 & 12 & 3 & 12 & 1 & 3end{matrix}right] right )} = 12$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{12} {det}{left (left[begin{matrix}5 & 2 & 11 & 3 & 111 & 1 & 3end{matrix}right] right )} = 2$$
$$x_{2} = frac{1}{12} {det}{left (left[begin{matrix}3 & 5 & 12 & 1 & 12 & 11 & 3end{matrix}right] right )} = -2$$
$$x_{3} = frac{1}{12} {det}{left (left[begin{matrix}3 & 2 & 52 & 3 & 12 & 1 & 11end{matrix}right] right )} = 3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 2 y + z = 5$$
$$2 x + 3 y + z = 1$$
$$2 x + y + 3 z = 11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}3 & 2 & 1 & 52 & 3 & 1 & 12 & 1 & 3 & 11end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}322end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}3 & 2 & 1 & 5end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{4}{3} + 3 & – frac{2}{3} + 1 & – frac{10}{3} + 1end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & – frac{7}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 2 & 1 & 5 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & – frac{7}{3}2 & 1 & 3 & 11end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{4}{3} + 1 & – frac{2}{3} + 3 & – frac{10}{3} + 11end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{1}{3} & frac{7}{3} & frac{23}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 2 & 1 & 5 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & – frac{7}{3} & – frac{1}{3} & frac{7}{3} & frac{23}{3}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}2\frac{5}{3} – frac{1}{3}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & – frac{7}{3}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}3 & 0 & – frac{2}{5} + 1 & – frac{-14}{5} + 5end{matrix}right] = left[begin{matrix}3 & 0 & frac{3}{5} & frac{39}{5}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & frac{3}{5} & frac{39}{5} & frac{5}{3} & frac{1}{3} & – frac{7}{3} & – frac{1}{3} & frac{7}{3} & frac{23}{3}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{1}{3} – – frac{1}{3} & – frac{-1}{15} + frac{7}{3} & – frac{7}{15} + frac{23}{3}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{12}{5} & frac{36}{5}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & frac{3}{5} & frac{39}{5} & frac{5}{3} & frac{1}{3} & – frac{7}{3} & 0 & frac{12}{5} & frac{36}{5}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{3}{5}\frac{1}{3}\frac{12}{5}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{12}{5} & frac{36}{5}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}3 & 0 & – frac{3}{5} + frac{3}{5} & – frac{9}{5} + frac{39}{5}end{matrix}right] = left[begin{matrix}3 & 0 & 0 & 6end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 0 & 6 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & – frac{7}{3} & 0 & frac{12}{5} & frac{36}{5}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & frac{5}{3} & – frac{1}{3} + frac{1}{3} & – frac{10}{3}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{5}{3} & 0 & – frac{10}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 0 & 6 & frac{5}{3} & 0 & – frac{10}{3} & 0 & frac{12}{5} & frac{36}{5}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} – 6 = 0$$
$$frac{5 x_{2}}{3} + frac{10}{3} = 0$$
$$frac{12 x_{3}}{5} – frac{36}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 3$$

x1 = 2.00000000000000
y1 = -2.00000000000000
z1 = 3.00000000000000