45*x-4*y=78 5*x+90*y=280

5*x + 90*y = 280

Из 1-го ур-ния выразим x
$$45 x – 4 y = 78$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$45 x – 4 y + 4 y = – -1 cdot 4 y + 78$$
$$45 x = 4 y + 78$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$frac{45 x}{45} = frac{1}{45} left(4 y + 78right)$$
$$x = frac{4 y}{45} + frac{26}{15}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x + 90 y = 280$$
Получим:
$$90 y + 5 left(frac{4 y}{45} + frac{26}{15}right) = 280$$
$$frac{814 y}{9} + frac{26}{3} = 280$$
Перенесем свободное слагаемое 26/3 из левой части в правую со сменой знака
$$frac{814 y}{9} = frac{814}{3}$$
$$frac{814 y}{9} = frac{814}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$frac{frac{814}{9} y}{frac{814}{9}} = 3$$
$$y = 3$$
Т.к.
$$x = frac{4 y}{45} + frac{26}{15}$$
то
$$x = frac{12}{45} + frac{26}{15}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 3$$

2

$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$45 x – 4 y = 78$$
$$5 x + 90 y = 280$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}45 x_{1} – 4 x_{2}5 x_{1} + 90 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}78280end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}45 & -45 & 90end{matrix}right] right )} = 4070$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{4070} {det}{left (left[begin{matrix}78 & -4280 & 90end{matrix}right] right )} = 2$$
$$x_{2} = frac{1}{4070} {det}{left (left[begin{matrix}45 & 785 & 280end{matrix}right] right )} = 3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$45 x – 4 y = 78$$
$$5 x + 90 y = 280$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}45 & -4 & 785 & 90 & 280end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}455end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}45 & -4 & 78end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{-4}{9} + 90 & – frac{26}{3} + 280end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{814}{9} & frac{814}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}45 & -4 & 78 & frac{814}{9} & frac{814}{3}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}-4\frac{814}{9}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{814}{9} & frac{814}{3}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}45 & 0 & 90end{matrix}right] = left[begin{matrix}45 & 0 & 90end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}45 & 0 & 90 & frac{814}{9} & frac{814}{3}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$45 x_{1} – 90 = 0$$
$$frac{814 x_{2}}{9} – frac{814}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$

x1 = 2.00000000000000
y1 = 3.00000000000000