59*x/50+53*y/50+47*z/50=403/100 111*x+386*y+60*z=420 15*x+263*y/5+543*z=598

111*x + 386*y + 60*z = 420

263*y
15*x + —– + 543*z = 598
5

2.39075957957027

$$z_{1} = frac{91410829}{90355932}$$
=
$$frac{91410829}{90355932}$$
=

1.01167490586008

$$y_{1} = frac{7328755}{30118644}$$
=
$$frac{7328755}{30118644}$$
=

0.243329513772267

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$frac{59 x}{50} + frac{53 y}{50} + frac{47 z}{50} = frac{403}{100}$$
$$111 x + 386 y + 60 z = 420$$
$$15 x + frac{263 y}{5} + 543 z = 598$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}frac{47 x_{3}}{50} + frac{59 x_{1}}{50} + frac{53 x_{2}}{50}60 x_{3} + 111 x_{1} + 386 x_{2}543 x_{3} + 15 x_{1} + frac{263 x_{2}}{5}end{matrix}right] = left[begin{matrix}frac{403}{100}420598end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}frac{59}{50} & frac{53}{50} & frac{47}{50}111 & 386 & 6015 & frac{263}{5} & 543end{matrix}right] right )} = frac{22588983}{125}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{125}{22588983} {det}{left (left[begin{matrix}frac{403}{100} & frac{53}{50} & frac{47}{50}420 & 386 & 60598 & frac{263}{5} & 543end{matrix}right] right )} = frac{108009655}{45177966}$$
$$x_{2} = frac{125}{22588983} {det}{left (left[begin{matrix}frac{59}{50} & frac{403}{100} & frac{47}{50}111 & 420 & 6015 & 598 & 543end{matrix}right] right )} = frac{7328755}{30118644}$$
$$x_{3} = frac{125}{22588983} {det}{left (left[begin{matrix}frac{59}{50} & frac{53}{50} & frac{403}{100}111 & 386 & 42015 & frac{263}{5} & 598end{matrix}right] right )} = frac{91410829}{90355932}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$frac{59 x}{50} + frac{53 y}{50} + frac{47 z}{50} = frac{403}{100}$$
$$111 x + 386 y + 60 z = 420$$
$$15 x + frac{263 y}{5} + 543 z = 598$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}frac{59}{50} & frac{53}{50} & frac{47}{50} & frac{403}{100}111 & 386 & 60 & 42015 & frac{263}{5} & 543 & 598end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{59}{50}11115end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}frac{59}{50} & frac{53}{50} & frac{47}{50} & frac{403}{100}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{5883}{59} + 386 & – frac{5217}{59} + 60 & – frac{44733}{118} + 420end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{16891}{59} & – frac{1677}{59} & frac{4827}{118}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}frac{59}{50} & frac{53}{50} & frac{47}{50} & frac{403}{100} & frac{16891}{59} & – frac{1677}{59} & frac{4827}{118}15 & frac{263}{5} & 543 & 598end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{795}{59} + frac{263}{5} & – frac{705}{59} + 543 & – frac{6045}{118} + 598end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{11542}{295} & frac{31332}{59} & frac{64519}{118}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}frac{59}{50} & frac{53}{50} & frac{47}{50} & frac{403}{100} & frac{16891}{59} & – frac{1677}{59} & frac{4827}{118} & frac{11542}{295} & frac{31332}{59} & frac{64519}{118}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{53}{50}\frac{16891}{59}\frac{11542}{295}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{16891}{59} & – frac{1677}{59} & frac{4827}{118}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}frac{59}{50} & – frac{53}{50} + frac{53}{50} & – frac{-88881}{844550} + frac{47}{50} & – frac{255831}{1689100} + frac{403}{100}end{matrix}right] = left[begin{matrix}frac{59}{50} & 0 & frac{441379}{422275} & frac{3275621}{844550}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}frac{59}{50} & 0 & frac{441379}{422275} & frac{3275621}{844550} & frac{16891}{59} & – frac{1677}{59} & frac{4827}{118} & frac{11542}{295} & frac{31332}{59} & frac{64519}{118}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{11542}{295} + frac{11542}{295} & – frac{-19355934}{4982845} + frac{31332}{59} & – frac{27856617}{4982845} + frac{64519}{118}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{45177966}{84455} & frac{91410829}{168910}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}frac{59}{50} & 0 & frac{441379}{422275} & frac{3275621}{844550} & frac{16891}{59} & – frac{1677}{59} & frac{4827}{118} & 0 & frac{45177966}{84455} & frac{91410829}{168910}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{441379}{422275} – frac{1677}{59}\frac{45177966}{84455}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{45177966}{84455} & frac{91410829}{168910}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}frac{59}{50} & 0 & – frac{441379}{422275} + frac{441379}{422275} & – frac{40346820293191}{38155051185300} + frac{3275621}{844550}end{matrix}right] = left[begin{matrix}frac{59}{50} & 0 & 0 & frac{1274513929}{451779660}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}frac{59}{50} & 0 & 0 & frac{1274513929}{451779660} & frac{16891}{59} & – frac{1677}{59} & frac{4827}{118} & 0 & frac{45177966}{84455} & frac{91410829}{168910}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & frac{16891}{59} & – frac{1677}{59} – – frac{1677}{59} & – frac{-51098653411}{1776999996} + frac{4827}{118}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{16891}{59} & 0 & frac{123790000705}{1776999996}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}frac{59}{50} & 0 & 0 & frac{1274513929}{451779660} & frac{16891}{59} & 0 & frac{123790000705}{1776999996} & 0 & frac{45177966}{84455} & frac{91410829}{168910}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$frac{59 x_{1}}{50} – frac{1274513929}{451779660} = 0$$
$$frac{16891 x_{2}}{59} – frac{123790000705}{1776999996} = 0$$
$$frac{45177966 x_{3}}{84455} – frac{91410829}{168910} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = frac{108009655}{45177966}$$
$$x_{2} = frac{7328755}{30118644}$$
$$x_{3} = frac{91410829}{90355932}$$

x1 = 2.390759579570271
y1 = 0.2433295137722667
z1 = 1.011674905860082