5*x+3*y+3*z=48 2*x+6*y-3*z=18 8*x-3*y-2*z=21

2*x + 6*y – 3*z = 18

8*x – 3*y – 2*z = 21

4.98165137614679

$$z_{1} = frac{462}{109}$$
=
$$frac{462}{109}$$
=

4.23853211009174

$$y_{1} = frac{377}{109}$$
=
$$frac{377}{109}$$
=

3.45871559633028

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 3 y + 3 z = 48$$
$$2 x + 6 y – 3 z = 18$$
$$8 x – 3 y – 2 z = 21$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}3 x_{3} + 5 x_{1} + 3 x_{2} – 3 x_{3} + 2 x_{1} + 6 x_{2} – 2 x_{3} + 8 x_{1} – 3 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}481821end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}5 & 3 & 32 & 6 & -38 & -3 & -2end{matrix}right] right )} = -327$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{327} {det}{left (left[begin{matrix}48 & 3 & 318 & 6 & -321 & -3 & -2end{matrix}right] right )} = frac{543}{109}$$
$$x_{2} = – frac{1}{327} {det}{left (left[begin{matrix}5 & 48 & 32 & 18 & -38 & 21 & -2end{matrix}right] right )} = frac{377}{109}$$
$$x_{3} = – frac{1}{327} {det}{left (left[begin{matrix}5 & 3 & 482 & 6 & 188 & -3 & 21end{matrix}right] right )} = frac{462}{109}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 3 y + 3 z = 48$$
$$2 x + 6 y – 3 z = 18$$
$$8 x – 3 y – 2 z = 21$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}5 & 3 & 3 & 482 & 6 & -3 & 188 & -3 & -2 & 21end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}528end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}5 & 3 & 3 & 48end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{6}{5} + 6 & -3 – frac{6}{5} & – frac{96}{5} + 18end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{24}{5} & – frac{21}{5} & – frac{6}{5}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}5 & 3 & 3 & 48 & frac{24}{5} & – frac{21}{5} & – frac{6}{5}8 & -3 & -2 & 21end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{24}{5} – 3 & – frac{24}{5} – 2 & – frac{384}{5} + 21end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{39}{5} & – frac{34}{5} & – frac{279}{5}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}5 & 3 & 3 & 48 & frac{24}{5} & – frac{21}{5} & – frac{6}{5} & – frac{39}{5} & – frac{34}{5} & – frac{279}{5}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}3\frac{24}{5} – frac{39}{5}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{24}{5} & – frac{21}{5} & – frac{6}{5}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}5 & 0 & – frac{-21}{8} + 3 & – frac{-3}{4} + 48end{matrix}right] = left[begin{matrix}5 & 0 & frac{45}{8} & frac{195}{4}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}5 & 0 & frac{45}{8} & frac{195}{4} & frac{24}{5} & – frac{21}{5} & – frac{6}{5} & – frac{39}{5} & – frac{34}{5} & – frac{279}{5}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{39}{5} – – frac{39}{5} & – frac{273}{40} – frac{34}{5} & – frac{279}{5} – frac{39}{20}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{109}{8} & – frac{231}{4}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}5 & 0 & frac{45}{8} & frac{195}{4} & frac{24}{5} & – frac{21}{5} & – frac{6}{5} & 0 & – frac{109}{8} & – frac{231}{4}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{45}{8} – frac{21}{5} – frac{109}{8}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{109}{8} & – frac{231}{4}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}5 & 0 & – frac{45}{8} + frac{45}{8} & – frac{10395}{436} + frac{195}{4}end{matrix}right] = left[begin{matrix}5 & 0 & 0 & frac{2715}{109}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}5 & 0 & 0 & frac{2715}{109} & frac{24}{5} & – frac{21}{5} & – frac{6}{5} & 0 & – frac{109}{8} & – frac{231}{4}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & frac{24}{5} & – frac{21}{5} – – frac{21}{5} & – frac{6}{5} – – frac{9702}{545}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{24}{5} & 0 & frac{9048}{545}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}5 & 0 & 0 & frac{2715}{109} & frac{24}{5} & 0 & frac{9048}{545} & 0 & – frac{109}{8} & – frac{231}{4}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} – frac{2715}{109} = 0$$
$$frac{24 x_{2}}{5} – frac{9048}{545} = 0$$
$$- frac{109 x_{3}}{8} + frac{231}{4} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = frac{543}{109}$$
$$x_{2} = frac{377}{109}$$
$$x_{3} = frac{462}{109}$$

x1 = 4.981651376146789
y1 = 3.458715596330275
z1 = 4.238532110091743