7*x+2*y=31 4*x-5*y=-31

4*x – 5*y = -31

Из 1-го ур-ния выразим x
$$7 x + 2 y = 31$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$7 x = – 2 y + 31$$
$$7 x = – 2 y + 31$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$frac{7 x}{7} = frac{1}{7} left(- 2 y + 31right)$$
$$x = – frac{2 y}{7} + frac{31}{7}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$4 x – 5 y = -31$$
Получим:
$$- 5 y + 4 left(- frac{2 y}{7} + frac{31}{7}right) = -31$$
$$- frac{43 y}{7} + frac{124}{7} = -31$$
Перенесем свободное слагаемое 124/7 из левой части в правую со сменой знака
$$- frac{43 y}{7} = – frac{341}{7}$$
$$- frac{43 y}{7} = – frac{341}{7}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$frac{-1 frac{43}{7} y}{- frac{43}{7}} = frac{341}{43}$$
$$y = frac{341}{43}$$
Т.к.
$$x = – frac{2 y}{7} + frac{31}{7}$$
то
$$x = – frac{682}{301} + frac{31}{7}$$
$$x = frac{93}{43}$$

Ответ:
$$x = frac{93}{43}$$
$$y = frac{341}{43}$$

2.16279069767442

$$y_{1} = frac{341}{43}$$
=
$$frac{341}{43}$$
=

7.93023255813953

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + 2 y = 31$$
$$4 x – 5 y = -31$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}7 x_{1} + 2 x_{2}4 x_{1} – 5 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}31 -31end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}7 & 24 & -5end{matrix}right] right )} = -43$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{43} {det}{left (left[begin{matrix}31 & 2 -31 & -5end{matrix}right] right )} = frac{93}{43}$$
$$x_{2} = – frac{1}{43} {det}{left (left[begin{matrix}7 & 314 & -31end{matrix}right] right )} = frac{341}{43}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + 2 y = 31$$
$$4 x – 5 y = -31$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}7 & 2 & 314 & -5 & -31end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}74end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}7 & 2 & 31end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -5 – frac{8}{7} & -31 – frac{124}{7}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{43}{7} & – frac{341}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}7 & 2 & 31 & – frac{43}{7} & – frac{341}{7}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}2 – frac{43}{7}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & – frac{43}{7} & – frac{341}{7}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}7 & 0 & – frac{682}{43} + 31end{matrix}right] = left[begin{matrix}7 & 0 & frac{651}{43}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}7 & 0 & frac{651}{43} & – frac{43}{7} & – frac{341}{7}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} – frac{651}{43} = 0$$
$$- frac{43 x_{2}}{7} + frac{341}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = frac{93}{43}$$
$$x_{2} = frac{341}{43}$$

x1 = 2.162790697674419
y1 = 7.930232558139535