a=1 3*a+b+c=9 3*a+9*c+d=21 3*a+b+3*d=21

3*a + b + c = 9

3*a + 9*c + d = 21

3*a + b + 3*d = 21

1.5

$$b_{1} = frac{9}{2}$$
=
$$frac{9}{2}$$
=

4.5

$$a_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$d_{1} = frac{9}{2}$$
=
$$frac{9}{2}$$
=

4.5

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$a = 1$$
$$3 a + b + c = 9$$
$$3 a + 9 c + d = 21$$
$$3 a + b + 3 d = 21$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}0 x_{4} + 0 x_{3} + x_{1} + 0 x_{2} x_{4} + x_{3} + 3 x_{1} + x_{2}x_{4} + 9 x_{3} + 3 x_{1} + 0 x_{2}3 x_{4} + 0 x_{3} + 3 x_{1} + x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}192121end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 03 & 1 & 1 & 03 & 0 & 9 & 13 & 1 & 0 & 3end{matrix}right] right )} = 28$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{28} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 09 & 1 & 1 & 021 & 0 & 9 & 121 & 1 & 0 & 3end{matrix}right] right )} = 1$$
$$x_{2} = frac{1}{28} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 03 & 9 & 1 & 03 & 21 & 9 & 13 & 21 & 0 & 3end{matrix}right] right )} = frac{9}{2}$$
$$x_{3} = frac{1}{28} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 03 & 1 & 9 & 03 & 0 & 21 & 13 & 1 & 21 & 3end{matrix}right] right )} = frac{3}{2}$$
$$x_{4} = frac{1}{28} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 13 & 1 & 1 & 93 & 0 & 9 & 213 & 1 & 0 & 21end{matrix}right] right )} = frac{9}{2}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$a = 1$$
$$3 a + b + c = 9$$
$$3 a + 9 c + d = 21$$
$$3 a + b + 3 d = 21$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 13 & 1 & 1 & 0 & 93 & 0 & 9 & 1 & 213 & 1 & 0 & 3 & 21end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}1333end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 6end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 6end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 63 & 0 & 9 & 1 & 213 & 1 & 0 & 3 & 21end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 9 & 1 & 18end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 9 & 1 & 18end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 6 & 0 & 9 & 1 & 183 & 1 & 0 & 3 & 21end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 3 & 18end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 3 & 18end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 6 & 0 & 9 & 1 & 18 & 1 & 0 & 3 & 18end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}011end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 6end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -1 & 3 & 12end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & -1 & 3 & 12end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 6 & 0 & 9 & 1 & 18 & 0 & -1 & 3 & 12end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}019 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 6end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -9 & 0 & 1 & -36end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -9 & 0 & 1 & -36end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 6 & -9 & 0 & 1 & -36 & 0 & -1 & 3 & 12end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 3 & 18end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 3 & 18end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 6 & -9 & 0 & 1 & -36 & 1 & 0 & 3 & 18end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}013end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & -9 & 0 & 1 & -36end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 28 & 0 & 0 & 126end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 28 & 0 & 0 & 126end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 6 & -9 & 0 & 1 & -36 & 28 & 0 & 0 & 126end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}01 -928end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 4 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 28 & 0 & 0 & 126end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & – frac{9}{2} + 6end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & frac{3}{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & frac{3}{2} & -9 & 0 & 1 & -36 & 28 & 0 & 0 & 126end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & -36 – – frac{81}{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & frac{9}{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & frac{3}{2} & 0 & 0 & 1 & frac{9}{2} & 28 & 0 & 0 & 126end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} – 1 = 0$$
$$x_{3} – frac{3}{2} = 0$$
$$x_{4} – frac{9}{2} = 0$$
$$28 x_{2} – 126 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{3} = frac{3}{2}$$
$$x_{4} = frac{9}{2}$$
$$x_{2} = frac{9}{2}$$

a1 = 1.00000000000000
b1 = 4.50000000000000
c1 = 1.50000000000000
d1 = 4.50000000000000