x-y-n=0 y-m-10=0 n-z+m=0 22*y+15*m-20*n=100 30*x+20*n=420

y – m – 10 = 0

n – z + m = 0

22*y + 15*m – 20*n = 100

30*x + 20*n = 420

3.28163265306122

$$m_{1} = – frac{72}{49}$$
=
$$- frac{72}{49}$$
=

-1.46938775510204

$$x_{1} = frac{2894}{245}$$
=
$$frac{2894}{245}$$
=

11.8122448979592

$$z_{1} = frac{444}{245}$$
=
$$frac{444}{245}$$
=

1.81224489795918

$$y_{1} = frac{418}{49}$$
=
$$frac{418}{49}$$
=

8.53061224489796

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- n + x – y = 0$$
$$- m + y = 10$$
$$m + n – z = 0$$
$$15 m – 20 n + 22 y = 100$$
$$20 n + 30 x = 420$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}0 x_{5} + – x_{4} + x_{3} + 0 x_{1} – x_{2} x_{5} + x_{4} + 0 x_{3} + – x_{1} + 0 x_{2} – x_{5} + 0 x_{4} + 0 x_{3} + x_{1} + x_{2} x_{5} + 22 x_{4} + 0 x_{3} + 15 x_{1} – 20 x_{2} x_{5} + 0 x_{4} + 30 x_{3} + 0 x_{1} + 20 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}010100420end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 01 & 1 & 0 & 0 & -115 & -20 & 0 & 22 & 0 & 20 & 30 & 0 & 0end{matrix}right] right )} = -2450$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{2450} {det}{left (left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -1 & 010 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1100 & -20 & 0 & 22 & 0420 & 20 & 30 & 0 & 0end{matrix}right] right )} = – frac{72}{49}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2450} {det}{left (left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & -1 & 0 -1 & 10 & 0 & 1 & 01 & 0 & 0 & 0 & -115 & 100 & 0 & 22 & 0 & 420 & 30 & 0 & 0end{matrix}right] right )} = frac{804}{245}$$
$$x_{3} = – frac{1}{2450} {det}{left (left[begin{matrix}0 & -1 & 0 & -1 & 0 -1 & 0 & 10 & 1 & 01 & 1 & 0 & 0 & -115 & -20 & 100 & 22 & 0 & 20 & 420 & 0 & 0end{matrix}right] right )} = frac{2894}{245}$$
$$x_{4} = – frac{1}{2450} {det}{left (left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 10 & 01 & 1 & 0 & 0 & -115 & -20 & 0 & 100 & 0 & 20 & 30 & 420 & 0end{matrix}right] right )} = frac{418}{49}$$
$$x_{5} = – frac{1}{2450} {det}{left (left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 101 & 1 & 0 & 0 & 015 & -20 & 0 & 22 & 100 & 20 & 30 & 0 & 420end{matrix}right] right )} = frac{444}{245}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- n + x – y = 0$$
$$- m + y = 10$$
$$m + n – z = 0$$
$$15 m – 20 n + 22 y = 100$$
$$20 n + 30 x = 420$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 101 & 1 & 0 & 0 & -1 & 015 & -20 & 0 & 22 & 0 & 100 & 20 & 30 & 0 & 0 & 420end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}0 -1115end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 10end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 10end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 10end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1015 & -20 & 0 & 22 & 0 & 100 & 20 & 30 & 0 & 0 & 420end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -20 & 0 & 37 & 0 & 250end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -20 & 0 & 37 & 0 & 250end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 1 & 0 & 1 & -1 & 10 & -20 & 0 & 37 & 0 & 250 & 20 & 30 & 0 & 0 & 420end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}-11 -2020end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 4 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & -20 & 0 & 37 & 0 & 250end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & – frac{37}{20} – 1 & 0 & – frac{25}{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & – frac{57}{20} & 0 & – frac{25}{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & – frac{57}{20} & 0 & – frac{25}{2} -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 1 & 0 & 1 & -1 & 10 & -20 & 0 & 37 & 0 & 250 & 20 & 30 & 0 & 0 & 420end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 – – frac{37}{20} & -1 & 10 – – frac{25}{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & frac{57}{20} & -1 & frac{45}{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & – frac{57}{20} & 0 & – frac{25}{2} -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 0 & 0 & frac{57}{20} & -1 & frac{45}{2} & -20 & 0 & 37 & 0 & 250 & 20 & 30 & 0 & 0 & 420end{matrix}right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 30 & 37 & 0 & 670end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 30 & 37 & 0 & 670end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & – frac{57}{20} & 0 & – frac{25}{2} -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 0 & 0 & frac{57}{20} & -1 & frac{45}{2} & -20 & 0 & 37 & 0 & 250 & 0 & 30 & 37 & 0 & 670end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}130end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & – frac{57}{20} & 0 & – frac{25}{2}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 5 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 37 – – frac{171}{2} & 0 & 1045end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & frac{245}{2} & 0 & 1045end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & – frac{57}{20} & 0 & – frac{25}{2} -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 0 & 0 & frac{57}{20} & -1 & frac{45}{2} & -20 & 0 & 37 & 0 & 250 & 0 & 0 & frac{245}{2} & 0 & 1045end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}- frac{57}{20}1\frac{57}{20}37\frac{245}{2}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
5 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 5 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & frac{245}{2} & 0 & 1045end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & – frac{57}{20} – – frac{57}{20} & 0 & – frac{25}{2} – – frac{11913}{490}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & frac{2894}{245}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & frac{2894}{245} -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 0 & 0 & frac{57}{20} & -1 & frac{45}{2} & -20 & 0 & 37 & 0 & 250 & 0 & 0 & frac{245}{2} & 0 & 1045end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & – frac{418}{49} + 10end{matrix}right] = left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & frac{72}{49}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & frac{2894}{245} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & frac{72}{49} & 0 & 0 & frac{57}{20} & -1 & frac{45}{2} & -20 & 0 & 37 & 0 & 250 & 0 & 0 & frac{245}{2} & 0 & 1045end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & – frac{57}{20} + frac{57}{20} & -1 & – frac{11913}{490} + frac{45}{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & -1 & – frac{444}{245}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & frac{2894}{245} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & frac{72}{49} & 0 & 0 & 0 & -1 & – frac{444}{245} & -20 & 0 & 37 & 0 & 250 & 0 & 0 & frac{245}{2} & 0 & 1045end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -20 & 0 & 0 & 0 & – frac{15466}{49} + 250end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -20 & 0 & 0 & 0 & – frac{3216}{49}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & frac{2894}{245} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & frac{72}{49} & 0 & 0 & 0 & -1 & – frac{444}{245} & -20 & 0 & 0 & 0 & – frac{3216}{49} & 0 & 0 & frac{245}{2} & 0 & 1045end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{3} – frac{2894}{245} = 0$$
$$- x_{1} – frac{72}{49} = 0$$
$$- x_{5} + frac{444}{245} = 0$$
$$- 20 x_{2} + frac{3216}{49} = 0$$
$$frac{245 x_{4}}{2} – 1045 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{3} = frac{2894}{245}$$
$$x_{1} = – frac{72}{49}$$
$$x_{5} = frac{444}{245}$$
$$x_{2} = frac{804}{245}$$
$$x_{4} = frac{418}{49}$$

m1 = -1.469387755102041
n1 = 3.281632653061224
x1 = 11.81224489795918
y1 = 8.530612244897959
z1 = 1.812244897959184