x+y=1/10 x+z=1/15 y+z=1/18

x + z = 1/15

y + z = 1/18

0.0555555555555556

$$z_{1} = frac{1}{90}$$
=
$$frac{1}{90}$$
=

0.0111111111111111

$$y_{1} = frac{2}{45}$$
=
$$frac{2}{45}$$
=

0.0444444444444444

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = frac{1}{10}$$
$$x + z = frac{1}{15}$$
$$y + z = frac{1}{18}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}0 x_{3} + x_{1} + x_{2}x_{3} + x_{1} + 0 x_{2}x_{3} + 0 x_{1} + x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}frac{1}{10}\frac{1}{15}\frac{1}{18}end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1 & 01 & 0 & 1 & 1 & 1end{matrix}right] right )} = -2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{2} {det}{left (left[begin{matrix}frac{1}{10} & 1 & 0\frac{1}{15} & 0 & 1\frac{1}{18} & 1 & 1end{matrix}right] right )} = frac{1}{18}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} {det}{left (left[begin{matrix}1 & frac{1}{10} & 01 & frac{1}{15} & 1 & frac{1}{18} & 1end{matrix}right] right )} = frac{2}{45}$$
$$x_{3} = – frac{1}{2} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1 & frac{1}{10}1 & 0 & frac{1}{15} & 1 & frac{1}{18}end{matrix}right] right )} = frac{1}{90}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = frac{1}{10}$$
$$x + z = frac{1}{15}$$
$$y + z = frac{1}{18}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & frac{1}{10}1 & 0 & 1 & frac{1}{15} & 1 & 1 & frac{1}{18}end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}11end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & frac{1}{10}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & – frac{1}{10} + frac{1}{15}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & – frac{1}{30}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & frac{1}{10} & -1 & 1 & – frac{1}{30} & 1 & 1 & frac{1}{18}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -11end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & frac{1}{10}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & – frac{1}{30} – – frac{1}{10}end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & frac{1}{15}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & frac{1}{10}1 & 0 & 1 & frac{1}{15} & 1 & 1 & frac{1}{18}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-1 & 0 & 1 & – frac{1}{10} + frac{1}{18}end{matrix}right] = left[begin{matrix}-1 & 0 & 1 & – frac{2}{45}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & frac{1}{10}1 & 0 & 1 & frac{1}{15} -1 & 0 & 1 & – frac{2}{45}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}011end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & frac{1}{15}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-2 & 0 & 0 & – frac{1}{15} – frac{2}{45}end{matrix}right] = left[begin{matrix}-2 & 0 & 0 & – frac{1}{9}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & frac{1}{10}1 & 0 & 1 & frac{1}{15} -2 & 0 & 0 & – frac{1}{9}end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}11 -2end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}-2 & 0 & 0 & – frac{1}{9}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & – frac{1}{18} + frac{1}{10}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & frac{2}{45}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & frac{2}{45}1 & 0 & 1 & frac{1}{15} -2 & 0 & 0 & – frac{1}{9}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & – frac{1}{18} + frac{1}{15}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & frac{1}{90}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & frac{2}{45} & 0 & 1 & frac{1}{90} -2 & 0 & 0 & – frac{1}{9}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{2} – frac{2}{45} = 0$$
$$x_{3} – frac{1}{90} = 0$$
$$- 2 x_{1} + frac{1}{9} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = frac{2}{45}$$
$$x_{3} = frac{1}{90}$$
$$x_{1} = frac{1}{18}$$

x1 = 0.05555555555555556
y1 = 0.04444444444444445
z1 = 0.01111111111111111