Дана система линейных уравнений:
⎧ ⎨ ⎩ 2×1 − 4×2 + x3 = 8
5×1 + x2 − 2×3 = −1
2×2 + 4×3 = 1
Для решения системы уравнений можно использовать метод Гаусса-Жордана. Шаги решения:
1. Создаем матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов:
2 -4 1 | 8
5 1 -2 | -1
0 2 4 | 1
2. Применяем элементарные преобразования строк матрицы для приведения ее к ступенчатому виду:
– Домножаем первую строку на 5 и вычитаем из нее вторую строку, чтобы получить ноль в первом столбце второй строки:
2 -4 1 | 8
0 21 -12 | 41
0 2 4 | 1
– Домножаем первую строку на 2 и вычитаем из нее третью строку, чтобы получить ноль в первом столбце третьей строки:
2 -4 1 | 8
0 21 -12 | 41
0 0 8 | 15
– Делим третью строку на 8, чтобы получить ведущий элемент (1) в третьей строке:
2 -4 1 | 8
0 21 -12 | 41
0 0 1 | 15/8
– Домножаем третью строку на 4 и вычитаем из нее вторую строку, чтобы получить ноль в третьем столбце второй строки:
2 -4 1 | 8
0 21 0 | 21/2
0 0 1 | 15/8
– Домножаем вторую строку на 2/21, чтобы получить ведущий элемент (1) во второй строке:
2 -4 1 | 8
0 1 0 | 1/2
0 0 1 | 15/8
– Домножаем вторую строку на 4 и прибавляем к ней первую строку, чтобы получить ноль во втором столбце первой строки:
2 0 1 | 10
0 1 0 | 1/2
0 0 1 | 15/8
– Домножаем первую строку на 1/2 и вычитаем из нее две третьей строки, чтобы получить ноль в первом столбце первой строки:
1 0 0 | 5
0 1 0 | 1/2
0 0 1 | 15/8
3. Получаем ступенчатый вид матрицы. Решением системы будет:
x1 = 5
x2 = 1/2
x3 = 15/8
Таким образом, решение системы уравнений заданной системы – x1 = 5, x2 = 1/2, x3 = 15/8.