На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Дано уравнение: 2sin²x-√3sinx/2cosx+1=0.
Для начала, перепишем уравнение в виде без использования радикалов:
2sin²x – √3sinx/(2cosx)+1=0
2sin²x – (√3sinx)/(2cosx)+1=0
2sin²x – √3tanx/2+1=0.
Заметим, что данное уравнение является тригонометрическим, и в нем присутствует квадрат синуса и тангенс.
Разделим уравнение на sin²x, предполагая, что sinx ≠ 0:
2 – √3cotx/2+1/sin²x = 0.
Заменим √3cotx/2 на t:
2 – t + 1/sin²x=0.
Умножим все слагаемые на sin²x:
2sin²x – tsin²x + 1 = 0.
Теперь заменим sin²x на 1-cos²x, используя формулу тригонометрии:
2(1-cos²x) – t(1-cos²x) + 1 = 0.
Раскроем скобки:
2 – 2cos²x – t + tcos²x + 1 = 0.
Перегруппируем слагаемые:
-2cos²x + tcos²x + t + 3 = 0.
Объединим коэффициенты при cos²x и свободные члены:
(1+t)cos²x – 2 = 0.
Таким образом, получается квадратное уравнение относительно cos²x:
(1+t)cos²x – 2 = 0.
Разделим обе части уравнения на (1+t):
cos²x = 2/(1+t).
Заметим, что 2/(1+t) > 0, поэтому cos²x > 0.
Воспользуемся значением cos²x от 0 до 1:
0 < cos²x = 2/(1+t) ≤ 1.
Исключим t из данного неравенства:
0 < 2/(1+t) ≤ 1.
Умножим все члены неравенства на (1+t):
0 < 2 ≤ (1+t).
Вычтем 1 из всех членов:
-1 < 1 ≤ t.
Получаем -1 < t ≤ 1.
Вернемся к замене переменной:
-1 < √3cotx/2 ≤ 1.
Рассмотрим ограничения √3cotx/2:
cotx = 2cot(x-pi/3),
√3cotx/2 = √3cot(x-pi/3).
Таким образом, у нас получается:
-1 < √3cot(x-pi/3) ≤ 1.
Теперь рассмотрим заданный отрезок (2pi, 7pi/2) и найдем все корни, удовлетворяющие неравенству.
Шаги решения:
1. Решаем неравенство -1 < √3cot(x-pi/3) ≤ 1 на заданном отрезке.
2. Находим корни этого неравенства, удовлетворяющие условию x ∈ (2pi, 7pi/2).
3. Полученные значения x будут являться корнями исходного уравнения 2sin²x - √3sinx/2cosx + 1 = 0 на заданном отрезке.
