Дана система уравнений:
2x₁ + 3x₂ – x₃ = 5
x₁ – 2x₂ + 2x₃ = -5
7x₁ + x₂ – 4x₃ = -10
Для решения этой системы уравнений можно использовать метод Гаусса-Жордана. Этот метод позволяет привести матрицу коэффициентов системы к треугольному виду и найти значения переменных.
1. Создаем расширенную матрицу, добавляя правую сторону системы в последний столбец:
2 3 -1 | 5
1 -2 2 | -5
7 1 -4 | -10
2. Вычитаем из второй строки первую, умноженную на 1/2:
2 3 -1 | 5
0 -3 3 | -7.5
7 1 -4 | -10
3. Вычитаем из третьей строки первую, умноженную на 7/2:
2 3 -1 | 5
0 -3 3 | -7.5
0 -19/2 -11/2 | -57.5
4. Делим вторую строку на -3:
2 3 -1 | 5
0 1 -1 | 2.5
0 -19/2 -11/2 | -57.5
5. Вычитаем из первой строки вторую, умноженную на 2:
2 1 1 | 0
0 1 -1 | 2.5
0 -19/2 -11/2 | -57.5
6. Вычитаем из третьей строки вторую, умноженную на -19/2:
2 1 1 | 0
0 1 -1 | 2.5
0 0 -1 | -35/2
7. Делим третью строку на -1:
2 1 1 | 0
0 1 -1 | 2.5
0 0 1 | 35/2
8. Вычитаем из второй строки третью, умноженную на 1:
2 1 1 | 0
0 1 0 | 60/4
0 0 1 | 35/2
9. Вычитаем из первой строки третью, умноженную на 1:
2 1 0 | -35
0 1 0 | 60/4
0 0 1 | 35/2
10. Вычитаем из первой строки вторую, умноженную на 1:
2 0 0 | -190/4
0 1 0 | 15
0 0 1 | 35/2
Таким образом, получаем:
x₁ = -190/4
x₂ = 15
x₃ = 35/2
Ответ: x₁ = -47.5, x₂ = 15, x₃ = 17.5