Дано неравенство 7^(x^2-2x-7) >= 7.
Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать свойства экспоненты:
1. Сначала приведем обе стороны неравенства к общему основанию, равному 7:
7^(x^2-2x-7) >= 7^1
2. Применим свойство равенства экспоненты:
x^2-2x-7 >= 1
3. Перенесем все члены в левую часть неравенства:
x^2-2x-7-1 >= 0
x^2-2x-8 >= 0
4. Решим полученное квадратное уравнение. Сначала раскроем скобку и упростим его:
(x-4)(x+2) >= 0
5. Теперь рассмотрим знаки каждого множителя и определим интервалы значений x, удовлетворяющих неравенству:
– Берем первый множитель (x-4):
– Если x > 4, то этот множитель положительный.
– Если x < 4, то этот множитель отрицательный.
- Если x = 4, то этот множитель равен нулю.
- Берем второй множитель (x+2):
- Если x > -2, то этот множитель положительный.
– Если x < -2, то этот множитель отрицательный.
- Если x = -2, то этот множитель равен нулю.
6. Составим таблицу знаков на основе вышеуказанных данных:
x < -2 -2 < x < 4 x > 4
(x-4) – + +
(x+2) – – +
Итого – + +
7. Теперь мы видим, что неравенство 7^(x^2-2x-7) >= 7 выполняется только в двух интервалах: (x < -2) и (x > 4).
Таким образом, решением данного неравенства является интервал x < -2 и x > 4.