Для решения данного неравенства сначала приведем его к стандартному виду, то есть упорядочим члены и объединим их:
-9x² < 1 - 6x
Затем перенесем все члены в левую часть:
-9x² + 6x - 1 < 0
Далее решим полученное квадратное неравенство. Поскольку у нас имеется умножение на отрицательное число (-9), мы поменяем знак неравенства:
9x² - 6x + 1 > 0
Решим квадратное уравнение, равное 0:
9x² – 6x + 1 = 0
Вычислим дискриминант D:
D = (-6)² – 4 * 9 * 1
D = 36 – 36
D = 0
Дискриминант равен 0, что означает, что уравнение имеет один корень.
Найдем корень уравнения:
x = -(-6) / (2 * 9)
x = 6 / 18
x = 1/3
Поскольку у нашего уравнения D = 0 и x = 1/3, получаем, что квадратное уравнение имеет единственный корень 1/3. Этот корень является точкой экстремума (вершина параболы).
Теперь определим, в каких интервалах неравенство остается верным. Для этого построим знаковую линию, разбивая интервалы на основе корня:
(-∞, 1/3) и (1/3, +∞)
Проверим знак неравенства на каждом интервале. Выберем тестовую точку внутри каждого интервала и вычислим значение неравенства.
При x = 0, неравенство -9x² + 6x – 1 < 0 становится -1 < 0, что верно. При x = 1, неравенство -9x² + 6x - 1 < 0 становится -4 < 0, что верно. Таким образом, корень 1/3 разделяет интервалы в которых данное неравенство верно. Ответом будет (-∞, 1/3).