Дана функция v(x, y) = y – 2xy. Условия Коши-Римана дают нам соотношения между частными производными u и v:
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x
Для нахождения функции u(x, y) решим первое уравнение:
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂x = -2x
Замечаем, что ∂u/∂x зависит только от x, поэтому можно просто проинтегрировать это уравнение от x_0 до x:
∫∂u/∂x dx = ∫-2x dx
u(x, y) = -x^2 + C(y)
C(y) – это произвольная функция только от y, которую нужно найти.
Теперь решим второе уравнение:
∂u/∂y = -∂v/∂x
∂u/∂y = 1 – 2x
∫∂u/∂y dy = ∫(1 – 2x) dy
u(x, y) = y – 2xy + C(x)
C(x) – это произвольная функция только от x, которую тоже нужно найти.
Теперь сравним два выражения для u(x, y):
-x^2 + C(y) = y – 2xy + C(x)
Мы знаем, что f(0) = 0, поэтому подставим x = 0 в уравнение и получим:
-C(0) = 0
C(0) = 0
Теперь заметим, что для произвольной функции C(y) можно выбрать C(y) = 0, так как это не меняет вида функции u(x, y).
Таким образом, нашли u(x, y):
u(x, y) = -x^2
Итого, у нас есть сопряженная гармоническая функция для v(x, y) = y – 2xy:
u(x, y) = -x^2.