Дано дифференциальное уравнение 2xy’y” = (y’)^2 + 1.
Для начала, давайте сделаем замену: пусть v(x) = y’, тогда y” = v'(x). Подставим это в уравнение и изменим переменные:
2xy’v’ = v^2 + 1.
Теперь это уравнение можно решить, используя метод разделяющихся переменных. Для этого перенесем все, содержащее v в одну часть, а все остальное в другую:
(v^2 + 1) – 2xy’v’ = 0.
Меняем порядок слагаемых:
1 – 2xy’v’ + v^2 = 0.
Теперь разделим уравнение на (1 – 2xy’). Получим уравнение:
1/(1 – 2xy’) – v^2/(1 – 2xy’) = 0.
Обозначим 1 – 2xy’ = z, тогда уравнение примет вид:
1/z – v^2/z = 0.
Сократив z, мы получим простое уравнение:
1 – v^2 = 0.
Это уравнение можно решить методом разделения переменных или факторизации:
(1 – v)(1 + v) = 0.
Это уравнение имеет два решения: v = 1 и v = -1.
Подставив v = 1 и v = -1 в уравнение z = 1 – 2xy’, получаем два значения:
1 – 2xy’ = 1 и 1 – 2xy’ = -1.
Решим эти уравнения относительно y’:
Для 1 – 2xy’ = 1, получаем -2xy’ = 0, откуда y’ = 0.
А для 1 – 2xy’ = -1, получаем -2xy’ = -2, откуда y’ = 1/x.
Интегрируя оба уравнения, находим общие решения для y:
1) Для y’ = 0, имеем y = C1, где C1 – произвольная постоянная.
2) Для y’ = 1/x, получаем y = C2 + ln(x), где C2 – произвольная постоянная.
Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения 2xy’y” = (y’)^2 + 1 имеет вид y = C1 и y = C2 + ln(x), где C1 и C2 – произвольные постоянные.