а) Для нахождения длины стороны АВ используем формулу расстояния между двумя точками: √((x2-x1)² + (y2-y1)²). Координаты точек А(0,2) и В(3,6), поэтому длина стороны АВ равна √((3-0)² + (6-2)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
б) Уравнение прямой, проходящей через две точки A(x1, y1) и B(x2, y2), можно получить, используя уравнение прямой в форме y = kx + b, где k – угловой коэффициент и b – свободный член.
Угловой коэффициент k находится по формуле k = (y2 – y1) / (x2 – x1). Для стороны АВ: k = (6 – 2) / (3 – 0) = 4/3.
Подставляя координаты точки А в уравнение прямой, получаем 2 = (4/3)·0 + b, откуда b = 2.
Таким образом, уравнение стороны АВ: y = (4/3)x + 2.
Аналогичным образом можно найти уравнение стороны ВС, используя координаты точек В(3,6) и С(4,4).
в) Для нахождения угла В между сторонами АВ и BC можно использовать теорему косинусов. Угол В можно найти по формуле: cos(В) = (a² + c² – b²) / (2ac), где a, b и c – длины сторон треугольника.
Длины сторон AB, BC и AC мы находим до этого. AB = 5, BC = √((4-3)² + (4-6)²) = √(1² + (-2)²) = √(1 + 4) = √5, AC = √((4-0)² + (4-2)²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5.
Подставляем значения в формулу: cos(В) = (5² + (2√5)² – (√5)²) / (2·5·2√5) = (25 + 20 – 5) / (20√5) = 40 / (20√5) = 2 / √5.
Вычисляем значение угла В с использованием обратной функции косинуса: В = arccos(2 / √5).
г) Высота треугольника проходит через вершину С и перпендикулярна стороне AB. Это означает, что угловой коэффициент прямой, на которой лежит высота CD, будет обратным и противоположным угловому коэффициенту стороны AB. То есть, угловой коэффициент прямой CD будет -3/4.
Зная угловой коэффициент и координаты точки C(4,4), можем записать уравнение прямой в форме y = kx + b и подставить значения: 4 = (-3/4)·4 + b, откуда b = 4 + 3 = 7.
Таким образом, уравнение высоты CD: y = (-3/4)x + 7.
Длина высоты CD равна расстоянию от точки C(4,4) до прямой CD. Для этого используем формулу расстояния от точки до прямой: |Ax + By + C| / √(A² + B²), где A, B и C – коэффициенты уравнения прямой, а x и y – координаты точки C.
Для уравнения прямой CD: A = -3/4, B = 1, C = -7, x = 4, y = 4. Подставляем значения: |(-3/4)·4 + 1·4 + (-7)| / √((-3/4)² + 1²) = |-3 + 4 – 7| / √(9/16 + 1) = |-6| / √(9/16 + 16/16) = 6 / √(25/16) = 6 / (5/4) = 24/5.
Таким образом, длина высоты CD равна 24/5.
д) Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которую мы обозначим как К. Точка К является центром масс треугольника, а медиана, содержащая точку К, делит другую медиану пополам.
Медиана AE проходит через точку A(0,2) и середину стороны BC. Для нахождения координат середины стороны BC можем использовать формулу средней точки: (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2. Координаты точек B(3,6) и C(4,4). Таким образом, середина стороны BC будет иметь координаты ((3 + 4) / 2, (6 + 4) / 2) = (3.5, 5).
Угловой коэффициент медианы AE можно найти, используя координаты точек A(0,2) и (3.5, 5). k = (5 – 2) / (3.5 – 0) = 3/3.5 = 6/7.
Подставляем координаты точки A и угловой коэффициент в уравнение прямой: y = (6/7)x + b. Для нахождения b подставим координаты точки A в уравнение: 2 = (6/7)·0 + b, откуда b = 2.
Таким образом, уравнение медианы AE: y = (6/7)x + 2.
Найдем точку пересечения медианы AE и высоты CD, то есть точку К. Для этого решим систему уравнений медианы AE и высоты CD. Подставляем уравнения: (6/7)x + 2 = (-3/4)x + 7.
Приведем уравнение к общему виду: (6/7)x + (3/4)x = 7 – 2. Находим общий знаменатель: (24/28)x + (21/28)x = 5.
Складываем дроби и получаем: (45/28)x = 5. Умножаем обе части уравнение на 28/45 и находим x: x = (5·28) / 45 = 4/3.
Подставляем полученное значение x в одно из уравнений: y = (6/7)·(4/3) + 2 = 8/7 + 14/7 = 22/7.
Таким образом, координаты точки К равны (4/3, 22/7).
е) Уравнение прямой, проходящей через точку К(4/3, 22/7) и параллельной стороне AB, будет иметь тот же угловой коэффициент, что и у стороны AB, то есть 4/3.
Подставляем координаты точки К и угловой коэффициент в уравнение прямой: y = (4/3)x + b. Найдем b, подставив координаты точки К в уравнение: 22/7 = (4/3)·(4/3) + b, откуда b = 22/7 – 16/9 = (198 – 112) / 63 = 86 / 63 = 2/3.
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку К и параллельной стороне AB: y = (4/3)x + 2/3.
