Для начала, давайте рассмотрим первые несколько членов данной последовательности. При n = 1: 1 = 2 * 1 – 1 = 1. При n = 2: 1 + 3 = 2 * 2 – 1 = 3. При n = 3: 1 + 3 + 5 = 2 * 3 – 1 = 5. Мы можем заметить, что в каждом случае сумма первых нескольких нечетных чисел равна соответствующему члену последовательности 2n – 1.
Теперь предположим, что утверждение верно для некоторого k: 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = 2k. Докажем, что оно будет верно и для k + 1.
Проверим справедливость утверждения при k + 1:
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = 2k + (2k + 2) – 1 = 2k + 2k + 1 = 4k + 1
Очевидно, что 4k + 1 ≠ 2(k + 1) для любого k. Таким образом, наше предположение оказалось неверным.
Вывод: Утверждение 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = 2k неверно.