Задача состоит в доказательстве, что все корни уравнения
(1 + x^2)^n * (d^n (1 + x^2)^(-1))/dx^n = 0
являются действительными числами.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Ролля. Суть этой теоремы состоит в следующем:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), причем f(a) = f(b), то существует такая точка c ∈ (a, b), что f'(c) = 0.
Применим теорему Ролля к функции h(x) = (1 + x^2)^n. Заметим, что функция h(x) непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси.
Также заметим, что производные функции h(x) будут иметь вид:
h'(x) = n(1 + x^2)^(n-1) * 2x
h”(x) = n(n-1)(1 + x^2)^(n-2) * 2 * 2x * 2x + n(1 + x^2)^(n-1) * 2
h”'(x) = n(n-1)(n-2)(1 + x^2)^(n-3) * 2 * 2 * 2x * 2x * 2x + 2n(n-1)(1 + x^2)^(n-2) * 2 * 2x
И так далее.
Из этих выражений видно, что производные h(x) являются многочленами с положительными коэффициентами для любого действительного x.
Теперь рассмотрим функцию g(x) = (d^n (1 + x^2)^(-1))/dx^n. Заметим, что функция g(x) представляет собой степенную функцию вида g(x) = h(x)^{-n}. Поэтому функция g(x) будет непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси.
Применим теорему Ролля к функции f(x) = h(x) * g(x). Заметим, что f(a) = f(b) = 0 для любых действительных a и b. Следовательно, существует такая точка c ∈ (a, b), что f'(c) = 0.
Таким образом, мы доказали, что уравнение (1 + x^2)^n * (d^n (1 + x^2)^(-1))/dx^n = 0 имеет корень c, для которого f'(c) = 0. Значит, этот корень является действительным числом.
Так как это рассуждение верно для любых действительных a и b, то все корни уравнения (1 + x^2)^n * (d^n (1 + x^2)^(-1))/dx^n = 0 действительные.