Для решения данной задачи найдем первообразную от функции (6t-5)/(6t^2-7t+10)dt.
1. Вынесем общий множитель из числителя и знаменателя:
(6t-5)/(6t^2-7t+10) = (6t-5)/(2t-5)(3t+2)
2. Разложим на простые дроби:
(6t-5)/(2t-5)(3t+2) = A/(2t-5) + B/(3t+2)
3. Приведем дроби к общему знаменателю:
(6t-5)/(2t-5)(3t+2) = (A(3t+2) + B(2t-5))/(2t-5)(3t+2)
4. Раскроем скобки в числителе:
(6t-5)/(2t-5)(3t+2) = (3At+2A + 2Bt – 5B)/(2t-5)(3t+2)
5. Приравняем числитель к числителю и знаменатель к знаменателю и найдем значения A и B:
6t-5 = 3At+2A + 2Bt – 5B
6t-5 = (3A+2B)t + (2A-5B)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем систему уравнений:
3A+2B = 6 (коэффициент при t)
2A-5B = -5 (свободный член)
6. Решим систему уравнений:
Умножим первое уравнение на 2 и сложим с вторым:
6A + 4B + 2A – 5B = 12 – 5
8A – B = 7
2A = 7 + B
Подставим найденное значение B в первое уравнение:
3A + 2(7 + B) = 6
3A + 14 + 2B = 6
3A + 2B = -8
Подставим значение 2A = 7 + B во второе уравнение:
2(7 + B) – 5B = -5
14 + 2B – 5B = -5
2B – 5B = -5 – 14
-3B = -19
B = 19/3
Подставим найденное значение B в уравнение 8A – B = 7:
8A – 19/3 = 7
8A = 7 + 19/3
8A = 21/3 + 19/3
8A = 40/3
A = 5/6
Таким образом, A = 5/6, B = 19/3.
7. Подставим значения A и B в исходное выражение:
(6t-5)/(6t^2-7t+10) = (5/6)/(2t-5) + (19/3)/(3t+2)
8. Интегрируем каждую дробь по отдельности:
∫((5/6)/(2t-5) + (19/3)/(3t+2)) dt = (5/6)∫(1/(2t-5)) dt + (19/3)∫(1/(3t+2)) dt
9. Интеграция дроби 1/(2t-5):
∫(1/(2t-5)) dt = (1/2)ln|2t-5| + C1
10. Интеграция дроби 1/(3t+2):
∫(1/(3t+2)) dt = (1/3)ln|3t+2| + C2
11. Итоговый ответ:
∫((6t-5)/(6t^2-7t+10)) dt = (5/6)(1/2)ln|2t-5| + (19/3)(1/3)ln|3t+2| + C,
где C = C1 + C2 – произвольная постоянная.
