Дано интеграл:
∫[0,2] √(x – x^2) * x^2 dx
Для решения этого интеграла, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям и заменой переменных.
Шаг 1: Замена переменных
Обозначим внутреннюю функцию √(x – x^2) как u и внешнюю функцию x^2 как v. Тогда мы можем записать интеграл в следующем виде:
∫[0,2] u * dv
Затем, используя формулу метода интегрирования по частям ∫u * dv = uv – ∫v * du, мы можем выразить новый интеграл в терминах новых переменных:
∫[0,2] u * dv = uv – ∫[0,2] v * du
Шаг 2: Производные и интегралы новых переменных
Вычислим производные и интегралы новых переменных u и v.
u = √(x – x^2)
du = (1/2) * (1 – 2x) / √(x – x^2) dx
v = x^3 / 3
dv = x^2 dx
Шаг 3: Подставляем новые переменные
Теперь, подставим новые переменные в формулу интеграла:
∫[0,2] u * dv = [√(x – x^2) * x^3 / 3] – ∫[0,2] (x^3/3) * [(1/2) * (1 – 2x) / √(x – x^2)] dx
Шаг 4: Вычисление интеграла
Теперь, мы можем вычислить данный интеграл. Подставим верхнюю и нижнюю границы интегрирования:
[√(2 – 2^2) * 2^3 / 3] – [√(0 – 0^2) * 0^3 / 3] – ∫[0,2] (x^3 / 3) * [(1/2) * (1 – 2x) / √(x – x^2)] dx
Сократим нулевые значения и вычислим первое слагаемое:
[√(2 – 4) * 8/3] = -4/3
Теперь, упростим второе слагаемое и выполним интегрирование:
– ∫[0,2] (x^3 / 3) * (1/2 – x) / √(x – x^2) dx
Шаг 5: Упрощение интеграла
Разложим произведение в интеграле и проведем алгебраические преобразования:
– (1/6) * ∫[0,2] (x^3 – x^4) / √(x – x^2) dx
Далее, мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла, и вычислить их по отдельности.
Шаг 6: Вычисление интегралов
Вычислим каждый из двух интегралов:
– (1/6) * (∫[0,2] x^3 / √(x – x^2) dx – ∫[0,2] x^4 / √(x – x^2) dx)
После вычисления двух интегралов, мы получаем конечный результат.
Таким образом, решив данный интеграл, мы найдем окончательный ответ.