Для исследования на монотонность и экстремум функции y = ln(x) + 1/x, мы сначала найдём производную этой функции.
Производная композиции функций ln(x) и 1/x равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию и сложенной с производной второй функции, умноженной на первую функцию:
(y)’ = (ln(x) + 1/x)’ = (ln(x))’ * 1/x + ln(x) * (1/x)’
= (1/x) * 1/x + ln(x) * (-1/x^2)
= 1/x^2 – ln(x)/x^2
= (1 – ln(x))/x^2
Мы можем установить, что производная функции равна нулю, чтобы найти точки экстремума.
1 – ln(x) = 0
ln(x) = 1
x = e^1
x = e
Теперь мы можем использовать вторую производную, чтобы определить, является ли эта точка экстремумом.
(y)” = ((1 – ln(x))/x^2)’ = ((-ln(x))/x^2)’ = (ln(x) – 1)/x^3
Подстановка x = e:
(y)”(e) = (ln(e) – 1)/e^3
= (0 – 1)/e^3
= -1/e^3
Поскольку вторая производная отрицательна при x = e, мы можем сделать вывод, что x = e является точкой максимума.
Итак, график функции y = ln(x) + 1/x монотонно возрастает при x < e и монотонно убывает при x > e. Точка экстремума находится в x = e и представляет собой максимум функции.