На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для исследования сходимости ряда по интегральному признаку, мы должны сначала проверить, что функция, стоящая в числителе ряда, положительна, непрерывна и убывает на неограниченном промежутке.
В данном случае, функция f(n) = n/(1+n^2) положительна на всем промежутке натуральных чисел.
Теперь докажем, что функция убывает:
Функция f(n) монотонно убывает, если её производная f'(n) <= 0 на всем промежутке.
Дифференцируем данную функцию:
f'(n) = [(1+n^2) * 1 - n * 2n] / (1+n^2)^2 = [1 - 2n^2] / (1+n^2)^2.
Для доказательства убывания, нам нужно показать, что f'(n) <= 0 на всем промежутке натуральных чисел.
Решим неравенство:
[1 - 2n^2] / (1+n^2)^2 <= 0.
1 - 2n^2 <= 0.
2n^2 >= 1.
n^2 >= 1/2.
n >= sqrt(1/2).
Таким образом, функция убывает на всем промежутке натуральных чисел.
Теперь мы можем применить интегральный признак для исследования сходимости ряда.
Интегрируем функцию f(n):
∫(от 1 до бесконечности) (n / (1 + n^2)) dn = 1/2 * ln(1 + n^2) ∣ от 1 до бесконечности = 1/2 * (ln(1 + n^2) – ln(2)) ∣ от 1 до бесконечности.
Проверим сходимость данного интеграла:
Так как второй член (ln(2)) является константой, он не влияет на сходимость интеграла.
Подставляем бесконечность в верхний предел интегрирования:
lim(n -> бесконечность) 1/2 * (ln(1 + n^2) – ln(2)).
ln(1 + n^2) становится бесконечным, поэтому и весь интеграл стремится к бесконечности.
Таким образом, ряд сходится, так как интеграл от функции f(n) сходится.
Итак, ряд 1/(1+1^2) + 2/(1+2^2) + 3/(1+3^2) сходится.
