Дано уравнение вида: 2xyy’ = x^2 + y^2.
Для начала сделаем замену: u = y/x. Тогда y = ux и y’ = u’x + u.
Подставим эти значения в исходное уравнение:
2x(ux)(u’x + u) = x^2 + (ux)^2.
Упростим уравнение:
2u(u’x + u)x^2 = x^2 + u^2x^2.
Разделим обе части уравнения на x^2:
2u(u’ + u) = 1 + u^2.
Дальше приведем уравнение к линейному виду:
2uu’ + 2u^2 = 1 + u^2.
Упростим:
2uu’ = 1 – u^2.
Теперь можем решить данное уравнение методом разделения переменных.
Разделим обе части уравнения на (1 – u^2):
(2u / (1 – u^2))du = dx.
Проинтегрируем:
∫ ((2u / (1 – u^2))du) = ∫ dx.
Для левой части можно использовать метод частных дробей:
∫ ((2u / (1 – u^2))du) = ∫ (A / (1 – u) + B / (1 + u))du,
где A и B – неизвестные коэффициенты.
Подставим:
2u = A(1 + u) + B(1 – u).
Раскроем скобки:
2u = A + Au + B – Bu.
Соберем все члены с u в одну часть:
2u – Au + Bu = A + B.
2u + (B – A)u = A + B.
Таким образом, должны быть равны коэффициенты при u в левой и правой частях уравнения:
2 = A + B (1)
B – A = 0 (2)
Из уравнения (2) следует, что B = A.
Подставим B = A в уравнение (1):
2 = A + A.
Таким образом, A = 1 и B = 1.
Обратно подставим значения A и B в интеграл:
∫ ((2u / (1 – u^2))du) = ∫ (1 / (1 – u) + 1 / (1 + u))du.
Проинтегрируем:
2ln |(1 + u) / (1 – u)| = x + C,
где C – произвольная постоянная.
Восстанавливаем исходную переменную u:
|(1 + u) / (1 – u)| = e^(x/2 + C/2).
Рассмотрим два случая:
1) (1 + u) / (1 – u) = e^(x/2 + C/2).
Разрешим уравнение относительно u:
1 + u = (1 – u)e^(x/2 + C/2).
1 + u = e^(x/2 + C/2) – ue^(x/2 + C/2).
u + ue^(x/2 + C/2) = e^(x/2 + C/2) – 1.
u(1 + e^(x/2 + C/2) = e^(x/2 + C/2) – 1.
u = (e^(x/2 + C/2) – 1) / (1 + e^(x/2 + C/2)).
2) (1 + u) / (1 – u) = – e^(x/2 + C/2).
Разрешим уравнение относительно u:
1 + u = – (1 – u)e^(x/2 + C/2).
1 + u = – e^(x/2 + C/2) + ue^(x/2 + C/2).
u – ue^(x/2 + C/2) = – e^(x/2 + C/2) – 1.
u(1 – e^(x/2 + C/2) = – e^(x/2 + C/2) – 1.
u = (- e^(x/2 + C/2) – 1) / (1 – e^(x/2 + C/2)).
Общее решение уравнения 2xyy’ = x^2 + y^2 имеет вид:
u = (e^(x/2 + C/2) – 1) / (1 + e^(x/2 + C/2)) или
u = (- e^(x/2 + C/2) – 1) / (1 – e^(x/2 + C/2)).
Для нахождения y воспользуемся исходной заменой: y = ux.
Таким образом, общее решение уравнения из условия имеет вид:
y = x * (e^(x/2 + C/2) – 1) / (1 + e^(x/2 + C/2)) или
y = x * (- e^(x/2 + C/2) – 1) / (1 – e^(x/2 + C/2)).
Где С – произвольная постоянная.