Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала найти его характеристическое уравнение.
Заменим y’ на p и y” на p’, тогда уравнение примет вид:
p’ = p/x
Далее, переместим x под дифференциал:
p’x = p
Разделим обе части уравнения на xp:
p’/p = 1/x
Затем проинтегрируем обе части уравнения. Отметим, что левая часть может быть проинтегрирована как логарифм натуральный от p, а правая часть – логарифм от |x|:
ln|p| = ln|x| + C
Где C – произвольная постоянная интегрирования.
Вернем переменные к исходным:
ln|y’| = ln|x| + C
Теперь, можно воспользоваться свойством логарифма и перевести уравнение в экспоненциальную форму:
|y’| = K|x|
Где K – произвольная постоянная, которая равна экспоненте в степени C.
Наконец, возможны два случая:
1. Если y’ ≠ 0, то можно сократить модули:
y’ = Kx
Решив это уравнение, получим:
y = Kx^2/2 + D
Где D – произвольная постоянная интегрирования.
2. Если y’ = 0, то получается тривиальное решение:
y = D
Таким образом, общее решение уравнения y” = y’/x имеет вид:
y = Kx^2/2 + D, где K, D – произвольные постоянные.