Для решения этой задачи нам понадобится использовать правило дифференцирования для произведения функций – правило Лейбница.
Шаги решения:
1. Возьмем заданную функцию u = ln^3(2x).
2. Применим правило Лейбница для произведения функций: (uv)’ = u’v + uv’, где u и v – функции.
3. Запишем функцию u в виде произведения двух функций: u = ln^3(x) * 2x.
4. Найдем производную u’ для первой функции ln^3(x) с помощью правила дифференцирования для композиции функций. По этому правилу, если f(x) = g(h(x)), то f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).
Для функции ln^3(x) = (ln(x))^3 нужно использовать цепное правило: u(x) = (v(x))^n, то u'(x) = n(v(x))^(n-1) * v'(x).
В этом случае v(x) = ln(x), n = 3, поэтому u'(x) = 3(ln(x))^2 * (ln(x))’.
Отсюда получаем, что (ln^3(x))’ = 3(ln(x))^2 * (1/x).
5. Теперь найдем производную u’ для второй функции 2x: (2x)’ = 2.
6. Теперь мы можем применить правило Лейбница: u’ = (ln^3(x) * 2x)’ = (ln^3(x))’ * 2x + ln^3(x) * (2x)’.
Подставляем значения производных из шагов 4 и 5: u’ = 3(ln(x))^2 * (1/x) * 2x + ln^3(x) * 2.
7. Упрощаем выражение: u’ = 6(ln(x))^2 + 2ln^3(x).
8. Ответ: производная заданной функции равна 6(ln(x))^2 + 2ln^3(x).