Для нахождения производной функции в заданном направлении воспользуемся формулой дифференциала векторной функции:
dF = ∇f · dr = (∂f/∂x, ∂f/∂y) · (dx, dy)
где ∂f/∂x и ∂f/∂y – частные производные функции f по x и y соответственно, dx и dy – координаты заданного направления l→.
Для начала найдем частные производные функции f по x и y.
Функция f(x, y) = ln(3x / (5 + y))
Частная производная ∂f/∂x:
∂f/∂x = (∂/∂x) ln(3x / (5 + y))
Применим формулу производной логарифма:
∂f/∂x = (∂/∂x) (ln(3x) – ln(5+y))
По правилу производной логарифма:
∂f/∂x = (∂/∂x) (ln(3x)) – (∂/∂x) (ln(5+y))
∂f/∂x = (1/(3x)) * 3 – 0
∂f/∂x = 1/x
Аналогично найдем ∂f/∂y:
∂f/∂y = (∂/∂y) ln(3x / (5 + y))
Применим формулу производной логарифма:
∂f/∂y = (∂/∂y) (ln(3x) – ln(5+y))
По правилу производной логарифма:
∂f/∂y = – (∂/∂y) (ln(5+y))
∂f/∂y = – (1/(5+y)) * 1
∂f/∂y = – 1/(5+y)
Теперь можем получить значение производной функции по заданному направлению.
Исходное направление l→=(3,4)
То есть dx=3 и dy=4.
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (1/x, -1/(5+y))
dF = ∇f · dr = (1/x, -1/(5+y)) · (3, 4)
dF = (1/x) * 3 + (-1/(5+y)) * 4
dF = 3/x – 4/(5+y)
Теперь можем вычислить значение производной функции по заданному направлению в точке (5; 0).
Подставим x=5 и y=0 в полученное выражение:
dF = 3/5 – 4/(5+0)
dF = 3/5 – 4/5
dF = -1/5
Ответ: производная функции z=ln(3x/(5+y)) по направлению l→=(3,4) в точке (5; 0) равна -1/5. Ответ округляем до сотых, поэтому окончательно получаем -0.20.